指数型函数y=kax的模型应用
兰溪一中 舒林军
1、内容和内容解析
我们已经学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本函数模型，知道了它们可以用来刻画现实世界中不同的变化规律。在自然条件下，细胞分裂、人口增长、生物体内碳14的衰变等规律，都可以用指数函数模型来描述。在本章中指数函数模型的应用是最重要的函数模型应用，要求学生必须要重点掌握。因此很有必要把这类函数模型的应用单独来进行探究。
本节课共解决三个例题，例1是关于细胞分裂问题；例2是关于马王堆千年女尸之迷问题；例3是人口增长问题。它们都围绕指数型函数应用而设计的。
本节的教学重点是指数型函数y=kax的应用，首先掌握这类函数的性质，尤其是单调性。当底数大于1时，象细胞分裂问题是典型的指数爆炸型增长；当底数小于1大于0时，函数是递减的，本节应用题是关于碳14的衰变问题来说明；人口增长问题是底数尽管大于1，但很接近1，所以一开始增长的速度慢，但时间一长，就飞速增长。难点是学生对题意的理解比较困难，计算比较复杂。
2、目标和目标解析
2.1通过具体例子使学生了解指数型函数y=kax在社会生活中的有着广泛应用。
2.2结合实例理解和体会指数型函数y=kax不同增长或递减的函数模型的意义。
2.3掌握指数型函数y=kax的模型建立，用观察法或待定系数法求出k和a，以及能（有些需要用计算机或图形计算器）画出函数的图象。
2.4灵活运用得到的函数模型去解决实际问题，从而发展了学生提出、分析、解决问题的能力，充分体会到数学与自然社会的关系的重要性。
3、教学问题诊断分析
3.1、学生对指数函数的图象与性质的掌握有所遗忘，因此在教学中需要进行简要地复习。
3.2、对指数型函数y=kax的图象变化规律要作说明，让学生自己探索、讨论。目的让学生掌握指数型函数的性质。
3.3、学生对应用题常常会产生恐惧感，如果正理解题意，提高他们的兴趣，他们做应用题可以克服这种恐惧感。因此在教学中，对应用题的背景要作说明，教师要收集一些材料作进一步地补充，来提高学生学习的热情，激发他们的求知域。
3.4、学生学习应用题，建立数学模型是一大难点，教师可以通过从简单到复杂，从直观到抽象，从已知到未知等化归手段进行启发式教学。
4、学生学习行为分析
学生在课堂内应该是极大发挥主观能动性去阅读、思考、发现、归纳分析出问题的精华。因此教师在课堂上是一位优秀的导演，把学生的求知欲望激发起来。教师要充分了解学生的心理，而应用题的教学恰是培养学生提出、分析、解决问题的能力的最好手段，要让学生身临其境，努力使学生多动脑、动笔。不能让他们象听故事一样，听完就忘记了。
5、教学支持条件分析
由于需要精确地作出函数的图象，及复杂的计算，本节课需要学生有计算器，最好有图形计算器，教室里有多媒体，教师应该掌握几何画板。
6、教学过程设计
（一）复习巩固，导入新课。
问题一：讨论下列函数的定义域、值域，单调性，并画出它们的图象。
①y=2x ②y= -1.2?3t ③
④y=5.5196e0.0221t,(0≤ t ≤10)
问题
问题设计意图
师生互动
（1）回答指数函数的图象与性质，上面四个函数都是指数函数吗？
温故而知新
在解决问题1前，教师先提问关于指数函数的图象与性质，让学生复习回顾。学生不但复习了旧知识，而且对上面的问题的回答有了准备
（2）请写出指数型函数的一般形式？上面四个函数哪几个指数型函数？
点出主题
在学生回答后，教师给出指数型函数的一般形式y=kax b。让学生对指数型函数有一定的了解。
（3）请同学们回答四个函数的定义域、值域，单调性，并在稿纸上画出它们的大致图象，
深入探究，同时为下面的新课作了作图象的准备。
教师用几何画板画在银幕上。学生对自己画的图象进行对比，从而增加了学生对指数型函数的图象的直观认识。
教师提出在自然条件下，细胞分裂、人口增长、生物体内碳14的衰变等规律，都可以用指数函数模型来描述，下面我们这堂课主要探究指数函数模型的应用
引出课题
（二）问题讲解
问题二、细胞分裂：
例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．
(１)用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；
（2）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
设计意图：让学生探索发现细胞分裂的规律，从分裂1、2 、3、4、5、6、7、8后写出得到的细胞的个数，然后寻找规律。再运用规律，解决其他问题。
师生互动1：教师引导学生阅读例1，并形象地画出如下的树叉图。并请同学列下如下表
分裂次数
1
2
3
4
5
6
7
8
细胞个数
2
4
8
16
32
64
128
256
师生互动2：教师引导学生发现规律，细胞的个数用2的n次表示。学生可以得到如下：2=21,4=22,8=23，…，256=28
然后请同学们归纳出：细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是
y＝2n，n?/SPAN>N＋．
师生互动3：引导学生利用计算器可以算得
215＝32768，220＝1048576．
故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个
师生互动4：引导学生在平面坐标系内画出图象，可以发现这些点都在指数函数y=2x的图象上。
问题三：长沙马王堆千年女尸之迷问题。
材料阅读：1、据新华社1972年7月30日报道，一座距今2100多年的西汉早期墓葬在湖南长沙市郊的马王堆出土。在这座古墓葬里，尸体、官椁及大批的随葬物，都保存得比较完整，是我国考古发掘工作中一项极为罕见的重要发现。这对研究西汉初期的历史、文化、手工业生产、工农业生产以及医药、防腐等方面都有极重要的价值。尸体出土时，全身裹着20层丝绸衣服，半身浸泡在略呈红色的溶液里。出土后，经医生的解剖检验，证明女尸不但外形完整，而且内脏器官也是完整的。尸体的皮下结缔组织还有弹性。股部动脉的颜色，几乎跟刚死去的尸体一样。给她注射防腐剂时，皮、肉、血管等软组织，随着药水所到而鼓起，然后通过微血管扩散。估计女尸死亡年龄在50岁左右。食道和胃里还保存着几颗甜瓜子。从各方面的病理查明，死者生前患有多种疾病，胆绞痛引起冠心病发作，似乎是导致猝死的原因。马王堆中的女尸为什么经历2000多年而不腐烂呢?原来这与墓葬的严密结构密切相关。女尸由三层椁和三层棺装殓，这已经够严密的了。椁的四周以及上部又填塞了一尺厚的木炭，用来吸水防渗。木炭外面还包着一层透水性极小的二三尺厚的白膏泥，形成密封状态。这样就造成了一个恒温、恒湿、缺氧、无菌的环境，对于女尸的不腐不烂起了决定性的作用。
2、科学研究表明：宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合成二氧化碳形后进入所有活组织，先为植物吸收，后为动物纳入。只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便以5730年的半衰期开始衰变并逐渐消失。对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代。因此碳14的衰变极有规律，其精确性可以堪称自然界的“标准时钟”。
例2：科学研究表明：现代的人与远古的人活着的时候体内碳14的含量是一样的。阅读上面的材料，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始量的76.7%。请你计算一下马王堆汉墓的大致年代？
设计意图：1、让学生了解马王堆汉墓女尸的大致情况，提高学生学习数学的热情。2、激发学生的求知欲，以及培养学生的科学探究精神。
师生互动1：教师引导学生阅读材料1、2，并说明什么是半衰期。并提出问题：推算生物死亡t年后，每克组织中的碳14含量为多少？
师生互动2：设问：设生物死亡时，体内每克组织中的碳14含量为1，1年后的残留量为x，生物死亡t年后，每克组织中的碳14含量为多少？让学生进行探索如下：列表如下：
死亡年数t
1
2
3
4
…
t
…
碳14含量P
…
…
师生互动3：在学生得出P=xt后，问当t=5730年时，P为多少？能否求出x的值？
学生列出式子：
，即得：
。
师生互动4：下面请同学们自己利用所学的知识计算出马王堆汉墓的大致年代?
学生都很积极地进行计算如下:
年.
问题四：人口增长问题
材料阅读：3、两个世纪以前，英国经济学家马尔萨斯（Thomas Malthus）指出，中国历史上的人口增长是一种没有节制的自然增长，它将导致粮食的短缺、生存条件的恶化和人民的贫困。马尔萨斯认为：由于一对夫妻在生育没有控制时不止生两个子女，人口将以几何级数增长；而土地面积的扩大和农作物产量的提高都是缓慢和有限的，粮食只能以算术级数增长。因此，一个社会要避免粮食和人口关系的危机，只有抑制人口的增长。在马尔萨斯看来，17至18世纪西欧人通过晚婚和独身对婚姻进行了限制，减缓了人口的生育，形成了从人口体系内部来对人口增长的自愿的、有道德的“预防性抑制”（Preventive check）；而中国不仅存在着没有限制的婚姻，而且还存在着没有节制的生育，因此，对中国人口增长的抑制主要是来自于人口体系外部非自愿的、罪恶性的“现实性抑制”，例如战争、饥荒和传染病。
4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0er t，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口人数，r表示人口年平均增长率。
5、下表是我国1950——1959年的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数（亿）
5.5196
5.6300
5.7482
5.8796
6.0266
6.1456
6.2828
6.4563
6.5994
6.7207
例3、阅读上面材料3、4、5、请求下面几个问题？
（1）计算：在材料5中，以1950年为基数，从1951年到1959年求出这9年的各年人口增长率的平均值r？（精确到0.0001）
（2）建立我国这一时期的马尔萨斯人口增长函数模型.(其中的r就是(1)中所求得的)
（3）用几何画板画出(2)中所求的函数图象,,并检验所得的函数模型与实际人口数据是否相符.
(4)如果按照上表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?
设计意图：让学生了解人口增长的马尔萨斯函数模型，学会探索函数的模型以及检验模型，同时让学生知道我国控制人口的重要性。
师生互动1:教师引导学生先求从1951年到1959年各年的人口增长率分别是多少?再求出这9年的年均增长率是多少?
设1951年到1959年各年的人口增长率分别是
,由
,同理可得
各值(略写),然后计算得这9年的年均增长率
.
师生互动2:学生不难得到我国这一时期的马尔萨斯人口增长函数模型为y=5.5196e0.0221t,(0≤ t ≤10).
师生互动3:下面由教师的引导下,回顾前面的问题一中第4个函数图象，是利用几何画板画出函数y=5.5196e0.0221t,(0≤ t ≤10)的图象,如下图所示.然后再描出点(1, 5.6300)，（2，5.6300）…，（9，6.7207），由下图可以看出所得的模型与我国在这时期的实际人口数据基本吻合。
师生互动4：教师引导学生在所求得的函数模型中令y=13，则得到
13=5.5196e0.0221t,由对数可以计算出
即t=39年，在1989年我国人口将达到13亿。实际上我国人口到2000年才达到13亿。再让学生分析一下我国实行计划生育的重要性。
（三）总结归纳：
回顾解题过程，总结函数应用的基本步骤。
设计意图：通过师生对解题过程发反思，使学生掌握函数应用的基本过程，获得解决这类问题的一般解决方法。
师生互动：教师和学生一起归纳这类函数应用问题解决的程序如下：
解答函数模型应用问题的程序概括为“四步八字”即：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学结论还原为实际问题的意义。
7、学习评价设计
设计意图:为了巩固本节指数型函数的应用,能更好地发现这类函数的特征,以及如何来计算求值，设计如下作业，让学生的探究能力得到进一步的提高。
课后作业：
1、某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为 （ ）
（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
A．5 B．1 C．14 D．15
2、四个变量y1, y2, y3, y4 随变量x的变化的数据如下图
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1130
2005
3130
4505
y2
5
94.567
1785.3
33733
6.37?105
1.2?107
2.38?108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.311
1.429
1.140
1.046
1.015
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是 ,并写出该函数的模拟函数为 .
3、医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天） （lg2=0.3010）
8、设计反思
自我评价：
（1）本节课最大的亮点是利用阅读材料，丰富了教材，满足了学生的求知欲，极大地激发了学生的科学探究精神，也是新教材的创新改革亮点之一。
（2）课堂上不能专门为了应试而教学，更重要的是提高学生的自我素质，本节课的另一个亮点是：培养学生的自学探究能力。
（3）对课本上115页例4：关于人口增长的马尔萨斯函数模型应用的例子加以改造、补充，笔者更好地提出了分层次的四个问题，这样就分散了难点，学生探究就比较轻松。我们反对那些只让学生阅读，教师自己不深入挖掘，便匆匆完成，造成学生一知半解，更严重的是学生会对应用题产生恐惧感。
（4）本节课不足之处是内容容量大，解决的方法是：把阅读材料作为前一天的作业，先让学生阅读，这样有利于课堂上时间的把握。