2016年03月11日 锐角三角函数应用
一．选择题（共6小题）
1．（2016•嘉定区一模）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是（ ）
A ．sinA= B ．cosA= C ．tanA= D ．cotA=
2．（2016•黄浦区一模）在直角坐标平面内有一点P （3，4），OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是（ ）
A ．tan α= B ．cot α= C ．sin α= D ．cos α=
3．（2016•静安区一模）在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC 的长为（ ）
A ．m •tan α•cos α B ．m •cot α•cos α C ． D．
4．（2016•闸北区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD ⊥AB 于点D ，则cot ∠BCD 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
5．（2016•安徽模拟）如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E 、F 分别在射线AD 、BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则下列结论错误的是（ ）
A ．tan ∠ADB=﹣1 B ．∠DEF=67.5° C ．∠AGB=∠BEF
D ．cos ∠AGB=
6．（2015•丽水）如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二．解答题（共11小题）
7．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=
（1）BC 的长；
（2）sin ∠ADC 的值．
，AC=．求：
8．（2011•连云港二模）如图（1），在直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠OCB=90°，OA=6，AB=5，cos ∠OAB=．
（1）写出顶点A 、B 、C 的坐标；
（2）如图（2），点P 为AB 边上的动点（P 与A 、B 不重合），PM ⊥OA ，PN ⊥OC ，垂足分别为M ，N ．设PM=x，四边形OMPN 的面积为y ．
①求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
②是否存在一点P ，使得四边形OMPN 的面积恰好等于梯形OABC 的面积的一半？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．
9．（2010•柳州）如图，AB 为⊙O 的直径，且弦CD ⊥AB 于E ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．
（1）若M 是AD 的中点，连接ME 并延长ME 交BC 于N ．求证：MN ⊥BC ．
（2）若cos ∠C=，DF=3，求⊙O 的半径．
10．（2010•密云县）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长；
（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
11．（2010•鞍山）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向，在射线DA 上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB时，求∠BQP 的正切值；
（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
12．（2010•淄博）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB=，P 是AC 上的一个动点．
（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长；
（2）当点P 在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA 的度数；
（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时▱DPBQ 的面积．
13．（2009•梧州）如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan ∠DCE 的值．
14．（2009•卢湾区二模）在等腰△ABC 中，已知AB=AC=3，，D 为AB 上一点，过点D 作DE ⊥AB 交BC 边于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交AC 边于点F ．
（1）当BD 长为何值时，以点F 为圆心，线段FA 为半径的圆与BC 边相切；
（2）过点F 作FP ⊥AC ，与线段DE 交于点G ，设BD 长为x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．
15．（2015•孝感）如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为D ．
（1）求证：∠PCA=∠ABC ；
（2）过点A 作AE ∥PC ，交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，连接BE ．若sin ∠P=，CF=5，求BE 的长．
16．（2015•枣庄）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 的中点O 为圆心、OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC =CD•2OE ；
（3）若cos ∠BAD=，BE=6，求OE 的长．
2
17．（2015•庆阳）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．
（1）求证：FE ⊥AB ；
（2）当EF=6，=时，求DE 的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2016•嘉定区一模）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是（ ）
A ．sinA= B ．cosA= C ．tanA= D ．cotA=
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】首先在直角△ABC 中利用勾股定理求得BC 的长，然后利用三角函数的定义进行判断．
【解答】解：在直角△ABC 中BC=A 、sinA=
B 、cosA=C 、tanA=
D 、cotA=
故选B ．
=，选项错误； =，选项正确； =，选项错误； =，选项错误． ==4．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．（2016•黄浦区一模）在直角坐标平面内有一点P （3，4），OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是（ ）
A ．tan α= B ．cot α= C ．sin α= D ．cos α=
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：斜边为
A 、tan α=，故A 正确； =5，
B 、cot α=，故B 错误；
C 、sin α=，故C 错误；
D 、cos α=，故D 错误；
故选：A ．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（2016•静安区一模）在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC 的长为（ ）
A ．m •tan α•cos α B ．m •cot α•cos α C ． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】探究型．
【分析】根据在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是高，如果AD=m，∠A=α，可以用含m 和α的三角函数值表示出CD ，通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答本题．
【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是高，如果AD=m，∠A=α，
∴tan α=，
∴CD=m•tan α，
∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α，
∴∠BCD=α，
∴cos ∠BCD=
即cos
CD=． ， ，
故选C ．
【点评】本题考查解直角三角函数，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利用转化的思想找到所求问题需要的条件．
4．（2016•闸北区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD ⊥AB 于点D ，则cot ∠BCD 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD ⊥AB 于点D ，可以得到∠A 和∠BCD 的关系，由∠A 的三角函数值可以得到∠BCD 的三角函数值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵CD ⊥AB 于点D ，
∴∠CDB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD ，
∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴cot ∠A=
∴cot ∠BCD=， ．
故选C ．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各个角之间的关系，根据等角的三角函数值相等，运用数学转化的思想进行解答问题．
5．（2016•安徽模拟）如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E 、F 分别在射线AD 、BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则下列结论错误的是（ ）
A ．tan ∠ADB=﹣1 B ．∠DEF=67.5° C ．∠AGB=∠BEF D ．cos ∠AGB=
【考点】解直角三角形；轴对称的性质．
【分析】连接CE ，设EF 与BD 相交于点O ，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE ，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：如图，连接CE ，设EF 与BD 相交于点O ，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE==，
∵点E 与点F 关于BD 对称，
∴DE=BF=BE=，
∴AD=1+，
∵AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB=AE，
∴四边形ABCE 是正方形，
∴BC=AB=1，
∴tan ∠ADB===﹣1，故A 错误；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠
BFE==67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故B 错误；
∵AB=AE=BC=1，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，
∴四边形ABCE 是正方形，
∴∠BAC=∠CBE=45°，
∵点E 与点F 关于BD 对称，
∴EF ⊥BD ，
∵AB ⊥AD ，
∴∠EOD=∠BAD=90°，
∵∠ADB=∠ODE ，
∴∠ABG=∠OED ，
∵AD ∥BC ，
∴∠OED=∠BFE ，
∴∠ABG=∠BFE ，
∴∠AGB=∠BEF ，故C 错误；
由勾股定理得，OE =BE﹣BO =（
∴OE=， 222）﹣（2）=2，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF ，
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos ∠AGB=故选：D ．
==，故D 正确．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．
6．（2015•丽水）如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD ，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD ，
∴∠α=∠ACD ，
∴cos α=cos∠ACD=
==，
只有选项C 错误，符合题意．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD 是解题关键．
二．解答题（共11小题）
7．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=
（1）BC 的长；
（2）sin ∠ADC 的值．
，AC=．求：
【考点】解直角三角形．
【分析】（1）过点A 作AE ⊥BC 于点E ，根据cosC=
根据tanB=，求出BE 的长即可； ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，
（2）根据AD 是△ABC 的中线，求出BD 的长，得到DE 的长，得到答案．
【解答】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，
∵cosC=，
∴∠C=45°，
在Rt △ACE 中，CE=AC•cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt △ABE 中，tanB=，即∴BE=3AE=3，
=，
∴BC=BE+CE=4；
（2）∵AD 是△ABC 的中线，
∴CD=BC=2，
∴DE=CD﹣CE=1，
∵AE ⊥BC ，DE=AE，
∴∠ADC=45°，
∴sin ∠ADC=．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．
8．（2011•连云港二模）如图（1），在直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠OCB=90°，OA=6，AB=5，cos ∠OAB=．
（1）写出顶点A 、B 、C 的坐标；
（2）如图（2），点P 为AB 边上的动点（P 与A 、B 不重合），PM ⊥OA ，PN ⊥OC ，垂足分别为M ，N ．设PM=x，四边形OMPN 的面积为y ．
①求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
②是否存在一点P ，使得四边形OMPN 的面积恰好等于梯形OABC 的面积的一半？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．
【考点】解直角三角形；配方法的应用；根据实际问题列二次函数关系式；直角梯形．
【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型．
【分析】（1）点A 的坐标，由图可直接得出；求出BC 、OC 的长，即可得到点B 、C 的坐标；
（2）①PM=x，由图得，0＜x ＜4，由cos ∠OAB=，得到MA=x ，由矩形的面积，可求出y 与x 之间的函数关系式；
②根据S 矩形OMPN =S 梯形OABC 可得到一点；
【解答】解：（1）由图得，A （6，0），B （3，4），C （0，4），
做BD ⊥OA ，所以，BD=OC，BC=OD；
由OA=6，AB=5，cos ∠OAB=得，
AD=3，BD=4，
即，BC=3，OC=4；
故坐标为：A （6，0），B （3，4），C （0，4）；
（2）①∵设PM=x，由图得，0＜x ＜4，
则，AM=x ，
所以，y=（6﹣x ）x ，
整理得，y=﹣+6x；
+6x（0＜x ＜4）； 故y 与x 之间的函数关系式是：y=﹣
②由﹣2+6x=×[（3+6）×4÷2]整理得， x ﹣8x+12=0，
解得，x 1=2，x 2=6（舍去），
OM=6﹣2×=，
故点P 的坐标为（，2）．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、直角梯形和矩形的相关知识以及动点函数问题，根据题目中的等量关系列出二次函数，注意最后取值必须使题目有意义；此题是一个大综合题，难度较大．
9．（2010•柳州）如图，AB 为⊙O 的直径，且弦CD ⊥AB 于E ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．
（1）若M 是AD 的中点，连接ME 并延长ME 交BC 于N ．求证：MN ⊥BC ．
（2）若cos ∠C=，DF=3，求⊙O 的半径．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）连接AC ．欲求MN ⊥BC ，只需证MN ∥AC 即可．由于直径AB ⊥CD ，由垂径定理知E 是CD 中点，而M 是AD 的中点，故EM 是△ACD 的中位线，可得ME （即MN ）∥AC ，由此得证．
（2）由于∠A 、∠C 所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF 、AF 、AB 的比例关系，用未知数表示出它们的长．
连接BD ，证△BDF ∽△ABF ，根据所得比例线段即可求得未知数的值（也可利用切割线定理求解），从而得到直径AB 的长，也就能求出⊙O 的半径．
【解答】（1）证明：
（方法一）连接AC ．
∵AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD 于E ，
由垂径定理得，点E 是CD 的中点；
又∵M 是AD 的中点，
∴ME 是△DAC 的中位线，
∴MN ∥AC ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠MNB=90°，即MN ⊥BC ；
（方法二）∵AB ⊥CD ，∴∠AED=∠BEC=90°．
M 是AD 的中点，
∴ME=AM，即有∠MEA=∠A ．
∵∠MEA=∠BEN ，∠C=∠A ，
∴∠C=∠BEN ．
又∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠BEN=90°，
∴∠BNE=90°，即MN ⊥BC ；
（方法三）∵AB ⊥CD ，∴∠AED=90°．
由于M 是AD 的中点，
∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM ．
又∵∠CBE 与∠EDA 同对，∴∠CBE=∠EDA ．
∵∠MED=∠NEC ，
∴∠NEC=∠CBE ．
∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠NEC+∠C=90°，
即有∠CNE=90°，即MN ⊥BC ．
（2）解：连接BD ．
∵∠BCD 与∠BAF 同对
∴cosA=cosC=．
∵BF 是⊙O 的切线，∴∠ABF=90°．
，∴∠C=∠A ，
在Rt △ABF 中，cosA==，
设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．
∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AD ，
∴△ABF ∽△BDF ， ∴
即
x=．
∴直径AB=4x=4×
则⊙O 的半径为．
， ， ，
【点评】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质等知识，难度适中．
10．（2010•密云县）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长；
（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；梯形；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解；
（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；
（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【解答】解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK ⊥BC 于K ，DH ⊥BC 于H ，则四边形ADHK 是矩形．
∴KH=AD=3．
在Rt △ABK 中，AK=AB•sin45°=4•=4，BK=AB•cos45°=4
=3． =4． 在Rt △CDH 中，由勾股定理得，HC=
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．
（2）如图②，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形． ∵MN ∥AB ，
∴MN ∥DG ．
∴BG=AD=3．
∴GC=10﹣3=7．
由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，CN=t，CM=10﹣2t ．
∵DG ∥MN ，
∴∠NMC=∠DGC ．
又∵∠C=∠C ，
∴△MNC ∽△GDC ． ∴
即
解得，， ． ．
（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t ， ∴．
②当MN=NC时，如图④，过N 作NE ⊥MC 于E ．
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得： EC=MC=（10﹣2t ）=5﹣t ．
在Rt △CEN 中，cosC=又在Rt △DHC 中，cosC=
∴
解得t=． ． =， ， 解法二：
∵∠C=∠C ，∠DHC=∠NEC=90°，
∴△NEC ∽△DHC ． ∴
即
∴t=． ， ．
③当MN=MC时，如图⑤，过M 作MF ⊥CN 于F 点．FC=NC=t ．
解法一：（方法同②中解法一）
解得． ， 解法二：
∵∠C=∠C ，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC ∽△DHC ． ∴，
即
∴． ， 综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC 为等腰三角形．
【点评】注意梯形中常见的辅助线：平移一腰、作两条高．构造等腰三角形的时候的题目，注意分情况讨论．此题的知识综合性较强，能够从中发现平行四边形、等腰三角形等，根据它们的性质求解．
11．（2010•鞍山）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向，在射线DA 上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB时，求∠BQP 的正切值；
（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】解直角三角形；勾股定理；直角梯形；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t 表示，就得到S 与t 之间的函数关系式．
（2）以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt △PMQ 中根据勾股定理，就得到一个关于t 的方程，就可以求出t ．
（3）根据相似三角形对应边成比例可列式求出t ，从而根据正切的定义求出值．
（4）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证．
【解答】解：（1）如图，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形． ∴PM=DC=12．
∵QB=16﹣t ，
∴S=×12×（16﹣t ）=96﹣6t （0≤t ＜16）；
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt △PMQ 中，PQ =t+12，
22222由PQ =BQ得t +12=（16﹣t ），
解得t=；
②若BP=BQ．
在Rt △PMB 中，BP =（16﹣2t ）+12．
22222由BP =BQ得：（16﹣2t ）+12=（16﹣t ）
2即3t ﹣32t+144=0．
由于△=﹣704＜0，
2∴3t ﹣32t+144=0无解，
∴PB ≠BQ ．
③若PB=PQ．
222222由PB =PQ，得t +12=（16﹣2t ）+12
2整理，得3t ﹣64t+256=0．
解得t 1=，t 2=16（舍去）
秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角222222综合上面的讨论可知：当t=秒或t=
形．
（3）如图，由△OAP ∽△OBQ ，得
∵AP=2t﹣21，BQ=16﹣t ，
∴2（2t ﹣21）=16﹣t ．
∴t=． ．
过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E ．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt △PEQ 中，tan ∠QPE=
又∵AD ∥BC ，
∴∠BQP=∠QPE ，
∴tan ∠BQP=； ．
（4）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ．
如图，过点Q 作QE ⊥AD 于E ，垂足为E ．
∵AD ∥BC
∴∠BQF=∠EPQ ，
又∵在△BFQ 和△BCD 中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC ，
∴∠BDC=∠EPQ ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt △BDC ∽Rt △QPE ， ∴，即．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ ⊥BD ．
【点评】梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论．
12．（2010•淄博）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB=，P 是AC 上的一个动点．
（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长；
（2）当点P 在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA 的度数；
（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时▱DPBQ 的面积．
【考点】解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】（1）作DF ⊥AC ，由AB 的长求得BC 、AC 的长．在等腰Rt △DAC 中，DF=FA=FC；在Rt △BCP 中，求得PC 的长．则由勾股定理即可求得DP 的长．
（2）由（1）得BC 与DF 的关系，则DP 与DF 的关系也已知，先求得∠PDF 的度数，则∠PDA 的度数也可求出，需注意有两种情况．
（3）由于四边形DPBQ 为平行四边形，则BC ∥DF ，P 为AC 中点，作出平行四边形，求得面积．
【解答】解：在Rt △ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，
∴BC=，AC=3．
（1）如图（1），作DF ⊥AC ．
∵Rt △ACD 中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=．
∵BP 平分∠ABC ，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴
PF=，
∴DP==．
（2）当P 点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，
DF=，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=
∴cos ∠
PDF=， =，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF ﹣∠PDF=15°．
当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA 的度数为15°或75°；
（3）当点P 运动到边AC 中点（如图4），即CP=时，
以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上．
∵四边形DPBQ 为平行四边形，
∴BC ∥DP ，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP ⊥AC ．
而在Rt △ABC 中，AB=2，BC=，
∴根据勾股定理得：AC=3，
∵△DAC 为等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=，
∵BC ∥DP ，
∴PC 是平行四边形DPBQ 的高，
∴S 平行四边形DPBQ =DP•CP=．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，综合性较强，难度系数较大．
13．（2009•梧州）如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan ∠DCE 的值．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）连接OC ，求证DC=BC可以证明∠CAD=∠BAC ，进而证明；
（2）AB=5，AC=4，根据勾股定理就可以得到BC=3，易证△ACE ∽△ABC ，则
∠DCE=∠BAC ，则tan ∠DCE 的值等于tan ∠BAC ，在直角△ABC 中根据三角函数的定义就可以求出．
【解答】（1）证明：连接OC ． （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA ．
∵CE 是⊙O 的切线，
∴∠OCE=90°． （2分）
∵AE ⊥CE ，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC ∥AE ． （3分）
∴∠OCA=∠CAD ．
∴∠CAD=∠BAC ． （4分） ∴．
∴DC=BC． （5分）
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC==3． （6分）
∵∠CAE=∠BAC ，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE ∽△ABC ． （7分） ∴
∴． ，． （8分）
∵DC=BC=3， ∴．（9分）
∴tan ∠DCE=． （10分）
【点评】证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等，并且本题考查了三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有关．
14．（2009•卢湾区二模）在等腰△ABC 中，已知AB=AC=3，，D 为AB 上一点，过点D 作DE ⊥AB 交BC 边于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交AC 边于点F ．
（1）当BD 长为何值时，以点F 为圆心，线段FA 为半径的圆与BC 边相切；
（2）过点F 作FP ⊥AC ，与线段DE 交于点G ，设BD 长为x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，根据已知可求得BC 的长，再根据三角函数即可求得BD 的长．
（2）根据已知可得到△ABC ∽△EFG ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得函数解析式．
【解答】解：（1）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，
在Rt △ABM 中，cos ∠B=，AB=3，
∴BM=1．
∵AB=AC，AM ⊥BC ，
∴BC=2．
设BD 长为x ，
在Rt △BDE 中，cos ∠B=，
∴BE=3x，EC=2﹣3x ．
同理FC=6﹣9x ，FE=4﹣6x ．
∴AF=9x﹣3．
由题意得9x ﹣3=4﹣6x ．
解得x=2﹣．
（2）∵DE ⊥AB ，EF ⊥BC ，
∴∠B+∠BED=90°，∠DEF+∠BED=90°．
∴∠B=∠DEF ．
同理∠EFG=∠C ．
∴△ABC ∽△EFG ． ∴=（） 22∴=（
2） ∴y=36x ﹣48x+16．
∵△ABC ∽△EFG ，
∴BC ：EF=AB：GE ，
∴2：（4﹣6x ）=3：GE ，
∴GE=6﹣
9x ．
∵在△BDE 中，∠BDE=90°，BD=x，BE=3x，
∴DE=2x ．
∴DG=DE﹣GE=2x ﹣（6﹣9x ）=11x ﹣6
∵点G 在线段DE 上，EG 为△EFG 的一条边，
∴DG ≥0，且EG ＞0，
∴11x ﹣6≥0，且6﹣9x ＞0， 解得≤x ＜．
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，弄清各边之间的关系是解题的关键．
15．（2015•孝感）如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为D ．
（1）求证：∠PCA=∠ABC ；
（2）过点A 作AE ∥PC ，交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，连接BE ．若sin ∠P=，CF=5，求BE 的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】（1）连接OC ，由PC 切⊙O 于点C ，得到OC ⊥PC ，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB 为⊙O 的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC ，于是得到结论；
（2）由AE ∥PC ，得到∠PCA=∠CAF 根据垂径定理得到，于是得到∠ACF=∠ABC ，由于∠PCA=∠ABC ，推出∠ACF=∠CAF ，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t △AFD 中，AF=5，sin ∠FAD=，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t △OCD 中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r =（r ﹣4）+8，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB 为⊙O 的直径，得到∠AEB=90°，在R t △ABE 中，由sin ∠EAD=，得到
【解答】（1）证明：连接OC ，
∵PC 切⊙O 于点C ，
∴OC ⊥PC ，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB 为⊙O 的直径，
222于是求得结论．
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC ，
∴∠PCA=∠ABC ；
（2）解：∵AE ∥PC ，
∴∠PCA=∠CAF ，
∵AB ⊥CG ， ∴，
∴∠ACF=∠ABC ，
∵∠PCA=∠ABC ，
∴∠ACF=∠CAF ，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE ∥PC ，
∴∠FAD=∠P ，
∵sin ∠P=，
∴sin ∠FAD=，
在R t △AFD 中，AF ﹣5，sin ∠FAD=，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在R t △OCD 中，设OC=r，
222∴r =（r ﹣4）+8，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，在R t △ABE 中，
∵sin ∠EAD=，∴
∵AB=20，
∴BE=12．
，
【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC 构造直角三角形是解题的关键．
16．（2015•枣庄）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 的中点O 为圆心、OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC =CD•2OE ；
（3）若cos ∠BAD=，BE=6，求OE 的长．
2
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）连接OD ，BD ，由AB 为圆O 的直径，得到∠ADB 为直角，可得出三角形BCD 为直角三角形，E 为斜边BC 的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC 中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO 与∠CDE 互余，可得出∠ODE 为直角，即DE 垂直于半径OD ，可得出DE 为圆O 的切线；
（2）证明OE 是△ABC 的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC ∽△BDC ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的长，根据三角形中位线定理OE 的长即可求得．
【解答】（1）证明：连接OD ，BD ，
∵AB 为圆O 的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，
∴CE=DE=BE=BC ，
∴∠C=∠CDE ，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO ，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）证明：∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，
∴△ABC ∽△BDC ， ∴=
2，即BC =AC•CD ． 2∴BC =2CD•OE ；
（3）解：∵cos ∠BAD=，
∴sin ∠BAC=
=，
又∵BE=6，E 是BC 的中点，即BC=12，
∴AC=15．
又∵AC=2OE，
∴OE=AC=．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
17．（2015•庆阳）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．
（1）求证：FE ⊥AB ；
（2）当EF=6，=时，求DE 的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）连接AD 、OD ，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质证明D 是BC 的中点，得到OD 是△ABC 的中位线，根据切线的性质证明结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式计算得到答案．
【解答】（1）证明：连接AD 、OD ，
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴CD=DB，又CO=AO，
∴OD ∥AB ，
∵FD 是⊙O 的切线，
∴OD ⊥EF ，
∴FE ⊥AB ；
（2）∵
∴=， =，
∵OD ∥AB ， ∴==，又EF=6，
∴DE=9．
【点评】本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键．