反三角函数
知识梳理： 一、反正弦函数
1、反正弦函数的定义：函数y=sinx， x ∈[-x ∈[-1，1].
2、反正弦函数的性质：
①图像； ②定义域[-1，1]；
③值域[-
ππ
]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，22
ππ，]； 22
④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx，x ∈[-1，1]； ⑤单调性：增函数。
[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线数y=arcsinx，x ∈[-1，1]的图像关于直线3、反余弦函数与反正切函数
（1）反余弦函数和反正切函数的定义：
y =x
对称，函数y=sinx，x ∈[-
ππ
，]与函22
y =x
对称.
余弦函数y=cosx， x ∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x ∈[-1，1]； 正切函数y=tanx， x ∈（-
ππ
，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x ∈（-∞，∞）； 22
（2）反正弦函数的性质：
①定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx的定义域是R. ②值域：函数y=arccosx的值域是[0，π]；函数y= arctanx的值域是（-
ππ，）. 22
③奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]；函数y= arctanx是奇函数，即arctan （-x ）=-arctanx.
④单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y= arctanx是增函数. [说明]互为反函数的两个函数图像关于直线数y=arccosx，x ∈[-1，1]的图像关于直线函数y=arctanx，x ∈R 的图像关于直线
y =x
对称，函数y=cosx，x ∈[0，π]与函
y =x
对称；函数y=tanx，x ∈（-
y =x
ππ
，）与22
对称.
1. 常用关系式
arcsin (-x )=-arcsin x , x ∈[-1,1]
sin (arcsin x )=x . x ∈[-1,1],
⎡ππ⎤
arcsin (sin x )=x , x ∈⎢-, ⎥
⎣22⎦
arccos (-x )=π-arccos x , x ∈[-1,1] cos (arccos x )=x , x ∈[-1,1] arccos (cos x )=x , x ∈[0, π]
arctan (-x )=π-arctan x , x ∈R ， tan (arctan )=x , x ∈R
⎛ππ⎫
arc tan (tan x )=x , x ∈ -, ⎪
⎝22⎭另外：arcsin x +arccos x =
π
2
；arctan x +arccotx =
π
2
，
例题分析
例1．求下列函数的值：
（1）arcsin
13
； （2）arcsin0； （3）arcsin （-）
22
（4）arccos
13； （5）arccos （-）； （6）arccos0；
22
（7）arctan1； （8）arctan （-
） 3
例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：
（1）sinx=
1ππππ2
，x ∈[-，]； （2）sinx=-，x ∈[-，]；
522223
（3）sinx=-
3
，x ∈[-π，0]. 3
(4) cosx =，x ∈[0,π] （5）cosx =-，x ∈[π,2π]
(6) tan x =-2,x ∈(-, ) （7）x ∈(,
1313
ππ22π3π
) 22
例3．化简下列各式：
（1）arcsin （sin
π4π）；（2）arcsin （sin ）；*（3）arcsin （sin20070） 75
（4）arccos （cos
π1
）；（5）sin[arccos(-) ]；（6）cos[arctan （-1）] 72
例4．求下列函数的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.
(1) f（x ）=
x π
+arccos；（2）f （x ）=3π-arctan （2x-1）；（3）f （x ）=2arcsin2x
22
拓展与提高
例1. 求y =arcsin
1
的定义域与值域 x -2
练习：求下列函数的定义域与值域。
1、y =arcsin(2cosx ) 2
、y =
2
3、y =arcsin x -x 4、y =arctan
()
1
2
x -1
5
、y = 6、y =sin x +arcsin x
例2. 求满足arccos2x
练习：解不等式
1、已知arcsin x ≥1，则x 的取值范围是 .
2、使arcsin x >arccos x 成立的x 的取值范围为（ A . 0，
）
D . [-1，0)
⎛⎝
2⎤⎥2⎦⎛2⎤⎡⎫B . ，1⎥ C . ⎢-1，⎪
2⎭⎝2⎦⎣
3、已知arcsin x >arcsin(1-x ). 求x 的取值范围
4、若不等式arcsin(1-m ) +arcsin(1-m 2)
5．解关于x 的不等式：arccos x >arcsin x 。
例3. （1）函数f (x )=2arcsin (x -1)的反函数为 .
（2）函数y =sin x ，x ∈⎢
3π⎤⎡π
，⎥的反函数为（
2⎦⎣2
）
A . y =a r c s i x ，n x ∈-1，1 B . y =-a r c s i x ，n x ∈-1，1 C . y =π+a r c s i x ，n x ∈-1，1 D . y =π-arcsin x ，x ∈-1，1 练习：．求下列函数的反函数 （1）y =sin x ，x ∈⎢-
[][]
[][]
⎡3π⎤
, -π⎥。 （2）y =cos x ，x ∈[-π,0]。 ⎣2⎦
（3）y =
π
2
+arccos
x
。 （4）y =3π-arctan (2x -1) 2
⎡⎛x 2x ⎫⎤
例5求函数f (x ) =lg ⎢arccos +⎪⎥的定义域与值域
⎝84⎭⎦⎣
练习、
1、求函数y =2arcsin
2、函数y =arccos(sinx ) ，x ∈(-
x π
+的定义域与值域： 33
π
3
，
2π
) 的值域为（3
）
5π⎫⎛π
A . ，⎪⎝66⎭
5π⎫2π⎫⎡⎛π
B . ⎢0，⎪ C . ，⎪
⎝36⎭3⎭⎣2π⎫⎡π
D . ⎢，⎪
3⎭⎣6
例6、不求值，比较下列各组反三角函数值的大小： ①arccos -
1⎛1⎫
arccos 。 ②arctan (-4) arctan (-π) ⎪34⎝⎭
11
arccos 。 44
练习、不求值，比较下列反三角函数值的大小：arcsin
例7、判断下列函数的奇偶性
（1）y =sin(arctanx ), x ∈R （2）y =arccos x -π
2
, x ∈[-1,1]
（3）y =arccos(cosx ), x ∈R
例8
、计算：cos ⎛
⎝π⎫3⎪⎭
练习 （1）arcsin
13+arccos 1
3
= 。 （2）|x |≤1时，arcsin x -arccos(-x ) = 。 （3
）+arcsin 1
7
的值为。 （4
）y =
1
3
arcsin 3x +arc tan 的值域为 。 （5）tan(2arctan
12+arctan 1
3
) =。 （6）cos ⎢⎡
arccos
4⎣
5-arccos ⎛ ⎝-5⎫13⎪⎤
⎭⎥⎦= 。 （7）若0
2
+x )]+arccos[sin(π+x )]=。（8）设方程6x 2
-5x +1=0的两根为x 1, x 2，求arctan x 1+arctan x 2的值。
（9）已知|sin x |=
1π
3，且x ∈(-π, -2
) ，则x 可以表示为 （
）
A π+arcsin
1111； B π-arcsin ； C -π+arcsin ； D -π-arcsin 3333
（10）若0
π
π⎡⎤
，则arcsin ⎢cos(+α) ⎥+arccos [sin(π+α) ]=（22⎣⎦π
2
C .
）
A .
π
2
B . -
π
2
-2αD . -
π
2
-2α
（11）. 求值： sin ⎢2arcsin(-) ⎥
5
⎡⎣3⎤⎦
11tan(arccos )
23
⎡1⎛⎤
12
．tan ⎢arccos ⎥= 。 2⎢⎝⎭⎥⎣⎦
例9、作出函数y =cos(2arcsinx ) 图像
练习：函数y =arccos(cosx ) ，x ∈⎢-
π⎤⎡π
，⎥的图象为（2⎦⎣2
）
π2
π- O 2 （ B ） （ （A ） A ） （ C ） （ D ） （D ） B ）（ C ） （
课堂检测
1. 函数y =cos x ，x ∈[π，2π]的反函数为（
）
A . y =π+a r c c o x ，s x ∈-1，1 B . y =π-a r c c o x ，s x ∈-1，1 C . y =
[][]
5π3π
-a r c s i x ，n x ∈[-1，1] D . y =+a r c s i x ，n x ∈[-1，1] 22
21
2. 若α=arcsin ，β=arccos ，则（
33
A . α
）
B . α=β C . α>βD . 无法确定其大小关系
1
3. 若arcsin x =arccos(-) ，则x =（
3
A . -
）
13
B .
13
C .
223
D . -
22
3
）
4. 函数y =2arcsin(cosx ) ，x ∈(-
A . (-
π
3
，
2π
) 的值域为（3
π
3
，π)
⎛π⎤B . -，π⎥ ⎝3⎦
2π
）3
D . (π，
2π) 3
C . （-
π
3
，
5. 设a ∈（0，1），则在[0，2π]内使sin x ≥a 的x 的取值范围为（
A . [0，arcsin a ] B . [arcsin a ，π-arcsin a ]
）
π⎡⎤
C . [π-arcsin a ，π] D . ⎢a r c s a i ，n +a r c s a i ⎥n
2⎣⎦
6、求值
⎡⎛⎤⎡⎛4⎫⎤
-（1）cos ⎢arc sin -⎪⎥ （2
）cot ⎢arccos ⎥ 35⎝⎭⎦⎣⎢⎝⎭⎥⎣⎦
⎡1⎛⎤
（3）cos (2arctan 2) （4
）tan ⎢arcsin ⎥ 2⎢⎝⎭⎥⎣⎦
⎛13π（5）arcsin sin
7⎝
⎫
⎪ （6）arccos ⎡⎣cos (4)⎤⎦ ⎭
7、用反三角函数表示下列各式中的x 。
（1
）sin x =-
⎛3π（3）tan x =2, x ∈ π, 2⎝⎛3πx ∈ π, 3⎝21⎫⎛π⎫ （2）cos x =, x ∈ -,0⎪ ⎪3⎝2⎭⎭⎛7π⎫⎫ （4
）cot x =-x ∈,4π⎪ ⎪ 22⎭⎝⎭
8、比较大小
（1）arccos
（3）arcsin x
1⎛1⎫9、（1）用反正弦函数表示arccos +arccos -⎪ 2⎝7⎭
⎛4⎫（2）用反正切函数表示arcsin -⎪+arctan (-2) ⎝5⎭1321arccos （2）arcsin 33arccos 2 3arccos x , x ∈[-1,1]
作业：
1．填空 （1
）=__________ （2）arcsin1=__________ ⎛π2⎫（3）sin arcsin ⎪=__________ 10⎭⎝
⎛1⎫（4）arccos0=__________（5）arccos -⎪=__________ ⎝2⎭
（6
）arctan(__________
2．下列关系式中，正确的是（ ）
A. arcsin π
3=
B. =
⎛π⎛1⎫⎛π⎫C. arccos -⎪=arcsin D. arctan +arctan -⎪=0 3⎝2⎭⎝3⎭⎝⎭
3．写出下列函数的定义域
x π⎫⎛（1
）y = （2）y =arcsin(x 2+x ) （3）y =log 2 arccos -⎪ 23⎭⎝
4．求函数y =
π2+arccos x 的反函数，并指出反函数的定义域和值域。 2
5．画出函数y =sin(arcsinx ) 的图像。
6．下列关系式中正确的是（ ）
⎡⎛2⎫⎤2π⎫π⎛ A. arccos ⎢cos -π⎪⎥=-π B. arctan tan ⎪= 2⎭23⎝⎣⎝3⎭⎦
π⎫π⎫π⎛π⎫⎛⎛C. sin arcsin ⎪= D. arcsin sin ⎪=sin arcsin ⎪ 4⎭4⎭3⎭3⎝⎝⎝
7．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）y =arcsin x 的反函数是y =sin x
（2）y =cos x , x ∈[-π,0]的反函数是y =-arccos x , x ∈[-1,1]
⎛ππ⎫（3）y =tan x , x ∈ -, ⎪的反函数是y =arctan x , x ∈(-∞ ⎝23⎭
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8
．函数y = ）
77 A. [,5] B. [3,+∞) C. [3,] D. [3,5] 22
19．函数y =arctan x +arcsin x 的值域是（ ） 2
3π3π3π3πππ A. (-π, π) B. [-, ] C. (-, ) D. [-, ] 444422
10．设函数y =arctan x 的图像沿x 轴正方向平移2个单位后所得的图像与图像
C 关于原点对称，那么图像C 所对应的函数是（ ）
A. y =-arctan(x -2) B. y =arctan(x -2) C. y =arctan(x +2) D. y =tan(x +2)
11．使arcsin x >arccos x 成立的x 的取值范围是（ ）
A.
B.
C. [- D. [-1,0)