均值不等式的应用
吴志娟
考试要求：
掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单应用．
教学目标：
1．使学生进一步掌握算术平均数与几何平均数的相关知识，能利用均值定理解决相关问题；
2．通过对均值不等式的应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．
3．在学习和解决问题的过程中，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯， 形成积极探索的研究态度．
教学重点和难点：
均值定理使用的条件既是教学重点又是教学的难点．
教学手段：计算机辅助教学
教学方法；启发式，谈话式
教学过程：
一、复习引入：：
数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有着广泛的应用．
师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围，证明不等式、解决实际应用问题方面有着广泛的应用，下面举例说明：
二、应用举例：
1、均值定理在求最值问题中的应用:
例1、若实数满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a ⋅3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： 3a 和3b 都是正数，3a +3b ≥2a ⋅3b =23a +b =6
当且仅当3a =3b 时等号成立，由a +b =2及3a =3b 得a =b =1
即当a =b =1时，3a +3b 的最小值是6．
⎛1⎫⎛1⎫⎪x ++y +例2．若x , y 是正数，则 ⎪的最小值是（ ） ⎪2y 2x ⎭⎝⎭⎝22
A ．3
2 B ．7 22 C ．4 D ．9 2⎛1⎫⎛1⎫x 1y 122⎪x ++y +解： = x +++y ++ ⎪ ⎪222y ⎭⎝2x ⎭y 4y x 4x ⎝
1⎫⎛x y ⎫⎛1⎛2⎫ ⎪= x 2+2⎪+ ⎪+++y 2 ⎪ ⎪4x ⎭⎝y x ⎭⎝4y ⎝⎭
≥1+2+1=4 1⎧2x =⎪4x 2⎪2⎪当且仅当⎨x =y ，即x =y =时等号成立 故选C 。 2⎪4y 2=1⎪⎪⎩
例3．设0
解：∵0
∴3-2x >0 3，求函数y =4x (3-2x ) 的最大值。 23 2
9⎛2x +3-2x ⎫y =4x (3-2x ) =2⋅2x (3-2x ) ≤2 ⎪= 22⎝⎭
当且仅当2x =3-2x , 即x =3⎛3⎫∈ 0, ⎪时等号成立。 4⎝2⎭2
二．均值定理在比较大小中的应用：
1a +b ) ，则P , Q , R 的例4．若a >b >1, P =lg a ⋅lg b , Q =(lga +lg b ), R =lg(22
大小关系是 .
分析：∵a >b >1
∴lg a >0, lg b >0
1（lg a +lg b ) >lg a ⋅lg b =p 2
a +b 1R =lg() >lg ab =lg ab =Q 22
∴R>Q>P。
2、求最值：
三．均值定理在求变量取值范围中的应用： Q =
例5．若正数a , b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是 . 分析： 因为a , b 是正数
ab =a +b +3≥33ab
∴a 3b 3≥81ab
∵ab >0∴ab ≥9
当且仅当a =b =3即时等号成立。
故ab 的取值范围是[9，+∞）。 a +b ≥ab （a , b ∈R +）点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运2
算能力；②如何由已知不等式ab =a +b +3出发求得ab 的范围，关键（a , b ∈R +）
a +b ≥ab （a , b ∈R +），这样2
将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.
三、课堂小结：
1、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，和将“积式”转化为“和式”的“放缩功能”.
2、创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由此想到不等式
而拆与凑的成因在于使等号成立.
3、注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三取等”.
设计说明：
本节课是高考一轮复习中的一节课《均值不等式的应用》，下面从五个方面进行设计说明：
一． 关于本课时教学内容的地位与作用
两个正数的算术平均数与几何平均数的定理（简称不等式的平均值定理）及重要不等式a 2+b 2≥2ab 是证明不等式、求某些函数的最大值、最小值的理论依据，它们在解决数学问题和实际问题中应用广泛。
二．关于本课时教学目标的制定：
鉴于本课时知识的特点和作用，我从以下三个方面制定了教学目标：
1．为使学生能准确掌握均值定理的内容及不等式成立的条件，并能利用均值定理解决求最值、比较大小、求变量的取值范围等问题，制定了教学目标1；
2．数学教育的基本目标之一就是要提高学生的数学思维能力，学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历观察发现、符号表示、运算求解、演绎证明等思维过程，这些过程对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了教学目标2；
3．为使学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯，在教学过程中，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，勤奋好学、勇于克服困难和不断进取的学风，制定教学目标3。
三．关于教学重点和难点说明：
应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理求最大、最小值是教学重点；数学知识的灵活运用是本节的教学难点。
“将典型问题分类”的教学结构的设计、“教师适时引导和学生自主探究相结合”的教学方式以及多媒体课件的合理使用的选择，保证了重点内容的突出。
“对知识进行适当的铺垫，由简单到复杂”的教学过程的设计、教学方式的选择使得难点得以突破。
四． 关于教学方式及教学手段的选择：
按照新课程标准的要求，教师要努力为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。据此制定了以创设问题情景为平台，学生思维训练为主线，师生、生生互动为形式的启发探索的教学方式。
在整个教学过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者。即要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的包容及对学生的鼓励，教师在教学过程中要对学生的见解延迟判断，甚至完全交给学生评判。力求通过学生的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
本节课采用“传统板书与Powerpoint 演示相结合”的教学手段。
教学中合理使用计算机辅助教学：利用PowerPoint 制作幻灯片，增大课堂容量，提高课堂效率；分析与解析过程教师用粉笔板书，符合学生的认知规律 ，
体现学生的整个思维过程，有利于知识的掌握与思维能力的提高。
五． 关于教学过程的设计
为了达到上述教学目标，强化重点内容并突破教学中的难点，在课堂教学过程中，我首先引导学生复习两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其变形形式，强调定理的条件和利用定理求最值时应注意的问题，然后按照均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围三方面的应用举例说明。在解决问题的过程当中，我让学生自主探求，互相交流，充分调动学生的积极性，同时教师参与讨论，并适当加以引导，帮助学生激活先前知识或经验，探寻问题的解决办法，让学生在自主学习、探究学习和互助交流的过程中获得知识，培养能力。最后，我让学生自主小结本节课的知我让学生通过自主研究，互相交流，教师参与讨论，并适当加以引导，帮助学生激活先前知识或经验，探寻问题本质。最后，我引导学生自主小结本节课的知识内容，这样设计小结使学生通过反思，深化知识理解，领悟思想方法，完善认知结构。
教学反思：
本节《均值不等式的应用》课是高考一轮复习课，通过教学大多数学生熟练掌握两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，能够利用定理解决求最值、比较大小、求取值范围等相关问题。在本节课的教学过程中，我感到比较成功之处有两个：
1．在课堂上，每一个学生都是课堂的主人，课程的推进以学生的自我探究为主，教师密切关注学生的思维动向，适时伸出援手，进行指导和帮助，这样自然而然地使教学内容深入下去、进行下去。通过师生的共同探讨，得到相应的结论，这些结论是一种过程体验的成果，是师生共同努力与探究的结果，是师生情感共历的结晶。
2．我相信大多数学生都蕴藏着巨大的数学学习的热情和积极性（因为数学本身具有结着无穷的魅力），在课堂上，我努力创设师生互动、生生互动的课堂氛围，让学生爱上数学课，爱学数学。我甘心做好教学活动中的引导者，给学生留出发展的空间、自主的天地，我想这样定能激发出学生身上的巨大潜能。
上完这节课，通过反思感到有两点不足：
1．学生知识水平差异较大，有个别学生学习有有困难，在课堂学习过程中，应努力为这样的学生创造学习的机会，想方设法使他们树立学习的信心；
2．因为不等式这部分知识比较枯燥，教师才应更有激情，以调动学生的积极性，我想这一点我还需要加强。