1. （2011•江苏）如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，﹣2）． （1）求此函数的关系式；
（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A ，C ，B ，D ．若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由．
2
2. （2011山东）如上右图，抛物线y=ax+bx（a ＞0）与双曲线y=2 k 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为x
（﹣2，﹣2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx=4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．
（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
3. （2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，直线l 经过O 、C
两点，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A B C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ，当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t > 0），△MP Q 的面积为S ．
（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为_____________；
（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．
（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段BC 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试
探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．
4. （2011新疆建设兵团，24，10分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ＝4，BC ＝9，∠B ＝45°．动点P
从点B 出发沿BC 向点C 运动，动点Q 同时以相同速度从点C 出发沿CD 向点D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求AB 的长；
（2）设BP ＝x ，问当x 为何值时△PCQ 的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB 边上是否存在点M ，使得四边形PCQM 为菱形？请说明理由．
5（2011云南保山，24，13分）（本小题13分）如图，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为(8，6) ，直线
AC 和直线OB 相交于点M ，点P 是OA 的中点，PD ⊥AC ，垂足为D ．
（1）求直线AC 的解析式； （2）求经过点O 、M 、A 的抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得S △P AD : S△QOA =8:25，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理
6．（）已知双曲线：y = k 与抛物线：y ＝ax 2+bx +c 交于A （2，3）、B （m ，2）、C （﹣3，n ）三点． x
（1）求双曲线与抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．
7. （2011重庆）如图, 在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形, ∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线
y =x 2+bx +c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b , c 的值；
（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外) ，过点E 作x 轴的垂线
交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上
是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的
坐标；若不存在，说明理由.
26题图
26题备用图
8. （2011湖北荆州，24，12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上）．若⊙P 过A 、B 、E 三点（圆心在x 轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1．
（1）求B 点坐标； （2）求证：ME 是⊙P 的切线；
（3）设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此轴称轴上不与N 点重合的一动点，
①求△ACQ 周长的最小值；
②若FQ=t，S △ACQ =S，直接写出S 与t 之间的函数关系式．
9. （2011•柳州）如图，一次函数y=﹣4x ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线
y=x +bx+c的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；
（3）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
2
210. （2011•湘西州）如右上图．抛物线y=﹣x ﹣2x+3与x 轴相交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、点B 和点C 的坐标．
（2）求直线AC 的解析式．
（3）设点M 是第二象限内抛物线上的一点，且S △MAB =6，求点M 的坐标．
（4）若点P 在线段BA 上以每秒1个单位长度的速度从A 运动（不与B ，A 重合），同时，点Q 在射线AC 上以每秒2个单位长度的速度从A 向C 运动．设运动的时间为t 秒，请求出△APQ 的面积S 与t 的函数关系式，并求出当t 为何值时，△APQ 的面积最大，最大面积是多少？
11. （2011山东）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =-42x +bx +c 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； 9
（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．
①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；
②当S 最大时，在抛物线y =-42x +bx +c 的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写9
出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．
第27题图 第27题备用图
12. （2011成都，26，8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．当x 为何值时，S 取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；
（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O 1和O 2，且O 1到AB 、BC 、AD 的距离与O 2到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l ）中S 取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
13．（2011成都，28，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA |：|OB |＝1：5，|OB |＝|OC |，△ABC 的面积S △ABC ＝15，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点． （1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为72？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
14. （2011四川达州，23，10分）如图，已知抛物线与x 轴交于A （1，0），B （﹣3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的顶点为P ，连接AC ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q ，求点D 的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得s △MA P =2s △AC P ，若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．
15.. 如图抛物线y= x -mx+n与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0．-1）．且对称抽x=l．（1）求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；
（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使四边形ABDC 的面积为3．若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；
（3）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标（使用图2）．
2
16. （）已知抛物线的顶点是C (0，a ) (a >0，a 为常数) ，并经过点(2a ，2a ) ，点D （0，2a ）为一定点.
(1)求含有常数a 的抛物线的解析式；
(2)设点P 是抛物线任意一点，过P 作PH ⊥x 轴，垂足是H ，求证：PD = PH ；
(3)设过原点O 的直线l 与抛物线在第一象限相交于A
a 的值.
x
17. （2011广东省茂名，25，8分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），抛物线对称轴l 与x 轴相交于点M ．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）设点P 为抛物线（x ＞5）上的一点，若以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P 的坐标；
（3）连接AC ．探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．
2 18. （2011•贵,21，）如右上图所示，二次函数y=﹣x +2x+m的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一
个交点为B ，且与y 轴交于点C ．
（1）求m 的值； （2）求点B 的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0） 使S △ABD =S△ABC ，求点D 的坐标．
19. （2011•铜仁地区25,14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC 的顶点A 、B 在此抛物线上，AB 与y 轴相交于点M ．已知点C 的坐标是（﹣4，0），点Q （x ，y ）是抛物线上任意一点．
（1）求此抛物线的解析式及点M 的坐标；
（2）在x 轴上有一点P （t ，0），若PQ ∥CM ，试用x 的代数式表示t ；
（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得△BAQ 的面积是△BMC 的面积的2倍？若存在，求此时点Q 的坐标．
20. （2011黑龙江）已知：二次函数y=39x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． 44
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．
21. （2011湖北十堰，24，10分）如图，线段AD=5，⊙A 的半径为1，C 为⊙A 上一动点，CD 的垂直平
分线分别交CD 于点E ，B ，连接BC ，AC ，构成△ABC, 设AB=x.
(1)求x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，则(3)设△ABC 的面积的平方为W ，求W 的最大值。
22. （2011湖北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，-3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），已知点H （0，-1）. 问在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S△GHA ？
若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E （-2，0），F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上的一点，若∠
EPF=∠BDF ，求线段PE 的长.
23. 如图，已知二次函数y=-x+mx+4m的图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点（B 点在A 点的右边），与y 轴的正半轴交于点C ，且（x 1+x2）-x 1x 2=10．
（1）求此二次函数的解析式．（2）写出B ，C 两点的坐标及抛物线顶点M 的坐标；
（3）连接BM ，动点P 在线段BM 上运动（不含端点B ，M ），过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，设OH 的长度为t ，四边形PCOH 的面积为S ．请探究：四边形PCOH 的面积S 有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 2
24. （2011•湖南张家界，25，12）如图，抛物线y=ax+bx经过点A （﹣4，0）、B （﹣2，2），连接OB 、AB ，
（1）求该抛物线的解析式． （2）求证：△OAB 是等腰直角三角形．
（3）将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转135°，得到△OA ′B ′，写出A ′B ′的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形ABOM 成直角梯形，若存在，请求出点M 坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由．
2
25. 如右上图，抛物线y=ax2+bx+c经过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于
点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．
26. （2011•丹东）己知：二次函数y=ax+bx+6（a≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、
2点B 的横坐标是一元二次方程x ﹣4x ﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A 、点B 的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P ，使△APC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC 、
BC ，点Q 是线段0B 上一个动点（点Q 不与点0、B 重合）．过点Q 作QD ∥AC 交BC 于点D ，设Q 点坐标（m ，0），当△CDQ 面积S 最大时，求m 的值． 2
28. （2011丽江市中考，24, 分）如图，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（8，6），直线AC 和直线OB 相交于点M ，点P 是OA 的中点，PD ⊥AC ，垂足为D ．
（1）求直线AC 的解析式；
（2）求经过点O 、M 、A 的抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在Q ，使得S △PAD ：S △QOA =8：25，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
29.
22、如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（-2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连接OA ． （1）求△OAB 的面积；
（2）若抛物线y=-x-2x+c经过点A ． ①求c 的值；
②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OAB 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）． 2
30. （2011•阜新）如图，抛物线y=123x +x﹣与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为P ． 22
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）在抛物线是否存在点E ，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积，若存在，求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F ，使得以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F 的坐标．