第三章 矩阵的进一步讨论
基础训练题
1. 矩阵A 的秩指的是什么？
解：A 中非零子式的最大阶数, 若没有非零子式, 则A 的秩为零.
2. 设F 上的矩阵A 的秩是r ，下列论断哪些是对的？哪些是错的？是对的，给出证明；是错的，举出反例.
（1）A 中只有一个r 阶子式不为零；
⎛12⎫解：错. 例如A = 00⎪⎪, 秩A =1,但一阶非零子式有两个.
⎝⎭（2）A 中所有r -1阶子式全为零；
⎛100⎫ ⎪
解：错. 例如A = 012⎪, 秩A =2, 但A 有5个2-1阶子式非零.
024⎪⎝⎭
（3）A 中可能也有r ＋1阶子式不为零； 解：错. 否则与秩A =r 矛盾.
（4）A 中至少有一个r 阶子式不为零. 解：对. 若A 中r 阶子式全为零, 则秩A
⎛1-12⎫
⎪-11λ ⎪ 2-24⎪⎝⎭
的秩最小. 解：λ=-2.
4. 求下列矩阵的秩
201⎫⎛1
⎪2-110 ⎪(1) ;(2)
-2-1-1-1⎪ ⎪ 102-2⎪⎝⎭
⎛0
-1 2 1⎝
1214
12⎫
⎪3-1⎪
. 2-1⎪
⎪61⎪⎭
解: (1)4; (2)4.
5. 设A *是F 上的n 阶矩阵A 的伴随矩阵，若秩A
解: 秩A *=0. .
6. 设A 是F 上的m ⨯n 矩阵，其秩小于m . 证明，存在m 阶非零矩阵G , 使得GA ＝0.
证明: 设秩A ＝r , 则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q , 使得
⎛I r
PAQ= 0
⎝0⎫⎪ ⎪0⎭
0⎫⎛0
令m 阶方阵B = 0I ⎪⎪, 其中I m -r 是m 阶单位矩阵, 因为r
m -r ⎭⎝
所以B ≠0, 而
⎛I r
BPAQ=B 0
⎝0⎫⎪=0 ⎪0⎭
令G =BP , 因为P 为m 阶可逆矩阵, 所以G ≠0. 在GAQ=0两边右乘以Q -1即得GA=0.
7. 已知矩阵A 的秩为2，求一个非零矩阵C 使得AC ＝0.
⎛10-1⎫ ⎪A ＝ 11-1⎪
010⎪⎝⎭
⎛I 2
解:因为T 32(-1) T 21(-1) AT (1) =13 0⎝
⎛001⎫
⎪⎛00⎫
⎪000所以C =T 13(1) =⎪. 0I ⎪ 1⎭ ⎝⎪
⎝001⎭
0⎫⎪ ⎪0⎭
8. 设α, β 都是数域F 上的矩阵A 的属于特征根λ的特征向量，问α＋β是不是A 的特征向量？为什么？
解:若α+β=0, 则α+β不是A 的特征向量;
若α+β≠0, 则α+β是A 的属于特征根λ的特征向量. 这是因为A (α+β)=λ(α+β).
9. 求下列矩阵的特征根.
⎛1-22⎫ ⎪
(1) -2-24⎪; (2)
24-2⎪⎝⎭
10⎫⎛3
⎪-4-10 ⎪. 4-8-2⎪⎝⎭
(1) λ1=-7, λ2=λ3=2; (2) λ1=-2, λ2=λ3=1.
10. 设λ1, λ2是数域F 上的矩阵A 的不同特征根，α1, α2是相应的特征向量，证明α1＋α2不再是A 的特征向量.
证明:假设α1＋α2是A 的属于特征根λ的特征向量, 则 A (α1＋α2)= λ(α1＋α2), 另一方面, A (α1＋α2)= λα1＋λα2
于是(λ-λ1) α1+(λ-λ2) α2=0. 因为λ1≠λ2, 所以λ-λ1, λ-λ2都不为零. 因此
α2=k α1(k ≠0) . 这样
k λ1α1= k A α1= Aα2=λ2α2=k λ2α1
从而 (λ1-λ2) α1=0.因此λ1=λ2. 矛盾.
11. 设A , B 都是数域F 上的n 阶矩阵，且A 可逆，证明，AB 与BA 相似. 证明:因为 AB =ABAA -1=(A -1) -1(BA ) A -1,
所以AB 与BA 相似.
12. 已知相似矩阵有相同的特征多项式，问这个命题的逆命题成立吗？若不成立，请举一个反例.
⎛10⎫⎛11⎫2
⎪ ⎪解:不成立. 例如:A = 尽管有, 但A 与 f (x ) =f (x ) =(x -1) , B =A B 01⎪ 01⎪⎝⎭⎝⎭B 不相似(否则B =A ).
13. 设矩阵A 与B 相似，其中
⎛-200⎫⎛-100⎫ ⎪ ⎪A ＝ 2a 2⎪， B ＝ 020⎪.
311⎪ 00b ⎪⎝⎭⎝⎭
求a 与b 的值. 解: a＝0, b ＝-2.
14. 设A , B , T 都是复数域上的n 阶方阵, 且T 是可逆矩阵. 证明, 若T -1AT = B , 则对任意的正整数m , 有T -1A m T = B m .
证明: B2＝(T -1AT )(T -1AT )= T -1A 2T B 3＝B 2B =( T -1A 2T )( T -1AT )= T -1A 3T ……………………. B m ＝T -1A m T .
15. 设A , B 都是F 上的n 阶对称矩阵，证明，AB 是对称矩阵当且仅当AB ＝BA .
证明：必要性：设AB 对称，则AB =(AB ) T =B T A T =BA ． 充分性：设AB =BA ，则(AB ) T =B T A T =BA =AB ．
16. 方阵A 称为斜对称的，如果A T ＝-A . 证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数.
证明：设λ是A 的任一特征根，则存在复数域上ｎ维列向量α，使得
⎛c 1⎫
⎪c 2
A α=λα．设α= ⎪，其中c 1, c 2, ⋅⋅⋅, c n 均为复数且不全为零．用α的转置矩阵
⋅⋅⋅⎪ c ⎪⎪⎝n ⎭
α左乘以上式的两边，得A α=λα=λ(α) ．由于A =-A T ，所以由转置
矩阵的性质可得
T T T T
A α=-A T α=-(A ) T α=-α
所以(λ+λ) αα=0，而α=∑c i c i ≠0．因此λ+=0，即λ是零或纯虚数．
i =1
T T T
T T
n
17. 设矩阵A 与B 合同. 证明，秩A ＝秩B .
证明：若A 与B 合同，则存在可逆矩阵P 使得B =P T AP ，所以秩B ＝秩
(P T AP ) ＝秩A ．
18. 设可逆实方阵A 与B 合同. 证明，det A 与det B 的符号相同.
证明：设实方阵A 与B 合同，则存在可逆实方阵P 使得B =P T AP ，因此
2
det B =det(P T AP ) =(detP ) det A ，因为(detP ) 2>0，所以det A 与det B 同正，
同负或同时为零．
19. 用合同变换化下列矩阵为对角形.
⎛
⎛112⎫ ⎪1(1) 101⎪， (2)
2
213⎪ 1⎝⎭
⎝2
12012
1⎫⎪2⎪1⎪. 2⎪⎪0⎪⎭
⎛10
⎛100⎫
1 ⎪
解：（１）． 0-10⎪；（２）． 0-
4 000⎪
⎝⎭ 00
⎝0⎫⎪
0⎪； （答案不唯一） ⎪-1⎪⎭
20. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形 （1）-4x 1x 2＋2x 1x 3＋2x 2x 3; （2）x 12-3x 22-2 x1x 2＋2x 1x 3 -6x 2x 3.
1⎛⎫11⎪⎛y 1⎫⎛x 1⎫ 2
⎪ ⎪ ⎪
解：（1）．经非退化的线形替换 x 2⎪= 013⎪ y 2⎪，得标准形：
x ⎪ ⎪ ⎪⎝3⎭ 112⎪⎝y 3⎭
2⎝⎭2y 12-
12
y 2+4y 32． 2
3⎫⎛
11- ⎪2⎛x 1⎫ ⎪⎛y 1⎫
1 ⎪ ⎪
（2）．经非退化的线形替换 x 2⎪= 01-⎪ y 2⎪，得标准形：
2⎪ ⎪ x ⎪ ⎪⎝y 3⎭⎝3⎭001 ⎪ ⎪⎝⎭
（答案不唯一） y 12-4y 22．
21. 设n 阶实对称矩阵A 是正定的, P 是n 阶实可逆矩阵. 证明, P T AP 也是正定矩阵.
证明：因为A 正定，所以存在可逆的n 阶实矩阵Q ，使得Q T AQ =I n ，因此
(P -1Q ) T (P T AP )(P -1Q ) =Q T AQ =I n ，而P -1Q 是可逆的实矩阵，故P T AP 正定．
22. 设A 是n 阶实对称矩阵. 证明，A 是正定矩阵当且仅当存在n 阶实可逆矩阵P ，使A ＝P T P .
证明：因为A 正定的充要条件是A 与I n 合同，所以存在n 阶实可逆矩阵P ，使得A =P T I n P =P T P ．
23. 如果n 阶实对称矩阵A 的秩等于A 的正惯性指数, 那么称A 是半正定的. 证明，如果A ＝(a ij ) 是秩为r 的n 阶实对称矩阵, 那么
⎛I r
(1) A 是半正定矩阵的充分且必要条件是A 与n 阶方阵 0
⎝0⎫⎪合同; ⎪0⎭
(2) A 是半正定矩阵的充分且必要条件是对于变量x 1, x 2, …, x n 每取一组不全为零的实数, 实二次型f (x 1, x 2, …, x n )=∑∑a ij x i x j 的函数值都是非负数.
i =1j =1n
n
⎛I
证明：（１）．A 半正定⇔A 的正惯性指数P =A 的秩r ⇔A 与 r
⎝0（２）．⇒．
0⎫
⎪合同．
0⎭
设A 半正定，则存在可逆的P ∈M n (R ) ，使得
⎛I
P T AP = r
⎝00⎫
⎪，其中r ＝秩A ．令X =PY ，因为P 可逆，所以对任意一组不0⎭
全为零的x 1, ⋅⋅⋅, x n ，都有y 1, ⋅⋅⋅, y r , y r +1, , y n 不全为零．因此
f (x 1, ⋅⋅⋅, x n ) =X T AX =Y T (P T AP ) Y =y 12+ +y r 2≥0．
⇐．用反证法．假设A 不是半正定的，即p
⎛I P
使得P T AP = 0
0⎝
0-I r -p 0
0⎫⎪
0⎪，其中0≤p
f (x 1, ⋅⋅⋅, x n ) =X T AX =Y T (P T AP ) Y =y 12+ +y p 2-y p +12- -y r 2≥0
特别地取y 1= =y p =0，但y p +1, , y r 不全为零，即y r +1, , y n 任取．这样由P 可逆知，对应得一组不全为零的x 1, ⋅⋅⋅, x n ．此时f (x 1, ⋅⋅⋅, x n )
24. 设A 是n 阶实对称矩阵. 证明, 若A 是半正定的, 则A 的行列式是非负实数.
⎛I
证明：因为A 半正定，所以存在可逆的P ∈M n (R ) ，使得P T AP = r
⎝0其中r ＝秩A ．因此(detP ) 2det A =det
det A =0．
0⎫
⎪，0⎭
⎛I r ⎝00⎫
⎪．若r =n ，则det A >0．否则0⎭
25. 设A 是n 阶正定矩阵, B 是n 阶半正定矩阵. 证明, A +B 是正定矩阵. 证明：因为A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，所以对任意一个n 维非零向量X ，都有X T AX >0，X T BX ≥0，因此X T (A +B ) X >0 即A +B 是正定的．
26．设A 是一个正定矩阵. 证明, (1) 对于任意正实数l , l A 是正定矩阵; (2) 对于任意正整数k , A k 是正定矩阵; (3) A －1是正定矩阵;
(4) A 的伴随矩阵A *也是正定矩阵.
证明：（１）．因为A 正定，所以存在可逆的P ∈M n (R ) ，使得A =P T P ．因
此lA =) T ) ．故lA 正定．
（２）．若k 为偶数，则A k =(A ) (A ) ，于是A k 正定；若k 为奇数，则
k
2T
k 2
A =(A
k
k -12T
) (A
k -12
) ，即A k 与A 合同，所以A k 正定．
（３）．因为A 正定，所以A 是可逆的实对称矩阵，因此由A =A T A -1A 可得，
A 与A -1合同，故A -1正定．
（４）．A *=(detA ) A -1，由于det A >0，A -1正定，所以由（１）知A *正定． 27. 判断下列实二次型是否正定：
22(1) 10x 12＋8x 1x 2＋24x 1x 3＋2x 2－28x 2x 3＋x 3；
(2)
∑x i 2＋∑x i x j .
i =1
1≤i
n
解：（１）．不正定； （２）．正定