分类讨论（相似三角形、平行四边形、梯形）
1．相似三角形的分类讨论
将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
12/7 或2．
抛物线的关系式为y ＝x －4 x＋3. 2图1
（1）若点M （x ，y 1），N （x ＋1，y 2）都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小；
（2）D 是线段AC 的中点，E 为线段AC 上一动点（A 、C 两端点除外），过点E 作y 轴的平行线EF 与抛物线交于点F ．问：是否存在△DEF 与△AOC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，则说明理由．
解：
（2）∵点M （x ，y 1），N （x ＋1，y 2）都在该抛物线上,
∴y 1－y 2＝（x －4 x＋3）－[(x＋1) －4(x＋1) ＋3]＝3－2x. 22图2-1 333时，y 1＞y 2 ; 即x =时，y 1＝y 2 ; 即x >时，y 1＜y 2 . 222
33（3）线段AC 的中点为D （, ）直线AC 的函数关系式为y ＝－x ＋3 . 22即x
①如图2-1，当F 为直角顶点时， E（4-2+，） . 22
5-1+，）.
22②如图2-2，当D 为直角顶点时，得点E （
2．平行四边形分类：
2如图，已知抛物线y=ax-2ax-b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B （-1，0），与y 轴的负半轴交于点
C ，顶点为D ．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标；
（2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．
抛物线的解析式为：y=x²-2x-3 所以F 点的坐标为（-3，12）或（5，12）
3．梯形分类：
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A （－2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点，联结BC 、AC ，该二次函数图像的对称轴与x 轴相交于点D ．
（1）求这个二次函数的解析式、点D 的坐标及直线BC 的函数解析式．
（2）已知点P 是该二次函数图像上一动点，请探求以点P 、C 、D 、B 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，请直接写出所有符合条件的点P 的个数及其坐标；若不能，请说明理由
4．菱形分类：
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，⊙P 经过点A 、点B （圆心P 在x 轴负半轴上），已知AB=10，AP=25/4
（1）求点P 到直线AB 的距离；
（2）求直线y=kx+b的解析式；
（3）在⊙P 上是否存在点Q ，使以A 、P 、B 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
∴M （-4，2）把x=-4代入y=2∴点M 在抛物线上∴存在这样的点M ，使四边形APCM 为矩形．
6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x+bx+c的图象经过点A （0，3）和点B （3，0），其顶点记为点C ．
（1）确定此二次函数的解析式，并写出顶点C 的坐标；
（2）将直线CB 向上平移3个单位长度，求平移后直线l 的解析式；
（3）在（2）的条件下，能否在直线上l 找一点D ，使得以点C 、B 、D 、O 为顶点的四边形是等腰梯形．若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由
（1）二次函数的为：y=x2-4x+3，顶点C 的坐标为（2，-1）
（2）直线l 的解析式为：y=x
（3）故所求的点D 的坐标为（2，2）．
27．已知：如图所示，关于x 的抛物线y=ax+x+c（a≠0）与x 轴交于点A （-2，0）、点B （6，0），
与y 轴交于点C ．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标。
（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线的解析式为 y=-1/4x^2+x+3=-1/4(x-2)^2+4
∴顶点坐标是（2，4)
解：（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形
所以点D:(4,3) 设直线AD 的解析式为为:y=(1/2)x +1
解:（3）存在
共有四种情况如图: Q1（2√2-2，0）、 Q2（-2√2-2，0）、 Q3（6+2√6，0） 、Q4（6-2√6，0） 2