测控电路课后答案ca4

第四章 信号分离电路

4-1 简述滤波器功能、分类及主要特性参数

滤波器是具有频率选择作用的电路或运算处理系统。按所处理信号形式不同，滤波器可分为模拟滤波器与数字滤波器两类；按功能滤波器可分为低通、高通、带通与带阻四类。滤波器主要特性参数包括：

1) 特征频率 滤波器的频率参数主要有：①通带截频fpp/2π为通带与过渡带的边界点，在该点信号增益下降到一个人为规定的下限。②阻带截频frr/2π为阻带与过渡带的边界点，在该点信号衰耗(增益的倒数)下降到一个人为规定的下限。③转折频率在很多情况下，也常以fc作为通带fcc/2π为信号功率衰减到1/2(约3dB)时的频率，

或阻带截频。④当电路没有损耗时，固有频率f00/2π，就是其谐振频率，复杂电路往往有多个固有频率。

2)增益与衰耗 滤波器在通带内的增益并非常数。①对低通滤波器通带增益KP一般指

0时的增益；高通指时的增益；带通则指中心频率处的增益。②对带阻滤波器，

应给出阻带衰耗，衰耗定义为增益的倒数。③通带增益变化量Kp指通带内各点增益的最大变化量，如果Kp以dB为单位，则指增益dB值的变化量。

3） 阻尼系数与品质因数 阻尼系数是表征滤波器对角频率为0信号的阻尼作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标，它是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。它可由式（4-3）所示的传递函数的分母多项式系数求得:



aj1aj20

的倒数Q1/称为品质因数，是评价带通与带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，Q

为：

Q

0



式中的为带通或带阻滤波器的3dB带宽，0为中心频率，在很多情况下中心频率与固有频率0相等。

4）灵敏度 滤波电路由许多元件构成，每个元件参数值的变化都会影响滤波器的性能。滤波器某一性能指标y对某一元件参数x变化的灵敏度记作Sx，定义为：

y

Sxy

dyy

dxx

灵敏度是滤波电路设计中的一个重要参数，可以用来分析元件实际值偏离设计值时，电路实际性能与设计性能的偏离；也可以用来估计在使用过程中元件参数值变化时，电路性能变化情况。该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度不是一个概念，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越强，稳定性也越高。

5）群时延函数 当滤波器幅频特性满足设计要求时，为保证输出信号失真度不超过允许范围，对其相频特性()也应提出一定要求。在滤波器设计中，常用群时延函数

d()

()评价信号经滤波后相位失真程度。()越接近常数，信号相位失真越小。

d

4-2 证明二阶电路传递函数分母系数均为正时电路是稳定的(提示：极点位置均位于s平面

左半部分)

假设二阶传递函数具有如下形式

n2s2n1sn0

H(s)

d2s2d1sd0

其极点位置为：

sP1,P2

2

1)当d14d0d2时

d1d124d0d2

2d2

4d0d2d12d1

sP1j

2d22d14d0d2d12d1

sP2j

2d22d1

Re(sP1)Re(sP2)d1/2d20(d10,d20)

2

2)当d14d0d2时

d124d0d2d1

sP10

2d22d1d124d0d2d1

sP20

2d22d1

极点均位于s平面左半部分，因此电路是稳定的。

4-3 试确定图4-3所示的低通滤波器的群时延函数()，并证明当0时，贝赛尔逼

近Q1/由式(4-12)

3可使()最接近常数。(提示：将()展成幂级数，并略去(/0)4

及更高次项)

0

202

()



π2020

可以得到

0

0

0(202)d

()()2

22222

d(0)0

[1(/0)2]



[1(/0)22(/0)2(/0)4]0

当0时，将其展成幂级数又可以得到

()

24

[1()2][12()2()o()]

000O0



2

[13()2()o()4] 0000

当时略去(/0)4及更高次项

()



[1o()4]

000

4-4 如果带通滤波器可等效成低通与高通滤波电路的级联，那么带阻滤波器呢？试以式

(4-18)证明之。

带阻滤波器可等效成低通与高通滤波电路的并联，但是要求低通滤波器的通带截频低于高通滤波器的通带截频，并且相位相同。设电路原理框图如下

Vi(s)

o(s)

Vo(s)H1(s)Vi(s)H2(s)Vi(s)[H1(s)H2(s)]Vi(s)

如果

H1(s)

2

Kp0

2

s20s0



2

Kp0

2

s20s/Q0

H2(s)

则

Kps2

s0s

2

20



Kps2

2

s20s/Q0

H(s)

与式(4-19)完全相同。

Kp(s202)s20s/Q02

4-5 具有图4-8所示特性的通带波动为0.5dB的五阶切比雪夫低通滤波器可由一个一阶基

本节与两个二阶基本节等效级联组成。试求两个二阶基本节的品质因数，并确定通带内增益相对直流增益的最大偏离为百分之几。

通带增益波纹系数KP/101=0.3493，[sinh1(1/)]/n=0.3548, 由式(4-27)可以得到：

220p(sinh2cos2k),0/Q2Psinhsink

Q1

sinh2cos212sinhsin1

4.545，Q2

sinh2cos222sinhsin2

Kp/20

1.178

Kp1

1

2

110

5.6%

4-6 试确定一个巴特沃斯低通滤波器的传递函数，要求信号在通带f250Hz内，通带增

益最大变化量Kp不超过2dB，在阻带f>1000Hz，衰耗不低于15dB。？

由题意可知，通带截频fp=250Hz，阻带截频fr=1000Hz。首先试用二阶电路n=2，根据巴特沃斯低通滤波器幅频特性单调性以及式4-24有：

20lg[1/(fp/fc)]Kp2dB， fc=327Hz

阻带衰耗

2

ar20lg(fr/fc)210.1dB

不满足设计要求。试用三阶电路n=3有：

20lg[1/(fp/fc)]2dB， fc=273.4Hz

阻带衰耗

3

ar20lg(fr/fc)317dB

满足设计要求，根据式4-25，仿照第二节例题可以确定其传递函数

cc2

H()()

scs22sin1csc2

5.069109

= 3236(s1.71810)[s(1.71510)s2.95110]

4-7 用单一运放设计一个增益为-1，fc273.4Hz的三阶巴特沃斯高通滤波器。

首先参考式4-25确定相应低通滤波器的传递函数

1π/6， sin11/2

2c2ccH()()=()(2)

scs22sin1csc2scscsc2

Kpc

利用频率变换关系s/cc/s可以得到所求高通滤波器的传递函数

ss2H(s)()()H1()H2()

scs2csc2

然后确定电路结构。用单一运放构成三阶电路，其中一阶环节可由增益为1的RC无源电路实现。二阶环节增益为-1，可选无限增益多路反馈型电路，实际电路结构如下图。 对一阶电路有：

ui(t)

H1(s)

ss

 scs1/R3C

电容值可参考表4-2选择为C0.1F，电阻值可按下式计算：

R3

R3可选公称值为5.6k的电阻。

1

5.821k

2πCfc

对二阶电路有：

s2

H2(s)2

2

scsc

C1仍可参考表4-2选择为C10.1F，因为增益为-1，由式(4-45)可得C3=C1。 这时还

有三个未知元件R1、R2与C2和两个约束条件

0

C1C2C3

1,

R2C2C3

fc

12πR1R2C2C3

因此答案不唯一。如选择C2C10.1F，则R11.940k，R217.46k。最后选择元件公称值为R12k，R217k。

4-8 一电路结构如图4-26。其中R0R1R510k，R24.7k，R347k，

R433k，C1C20.1F。试确定当电阻R0断开与接入时电路功能分别是什么？并计算相应的电路参数Kp、f0与Q。

令R0断路，输出Uo1(s)f1(s)Ui(s)；令R1断路，输出Uo2(s)f2(s)Uo(s)。因

R0R1， 故f1(s)f2(s)f(s),

Uo(s)f1(s)Ui(s)f2(s)Uo(s)f(s)[Ui(s)Uo(s)]

t)

习题4-8图

电阻R0断开时，前级电路与图4-14c完全一样，是一个无限增益多路反馈型二阶带通滤波器，后级是一个反相放大器，增益为R5/R40.3030。

s

UoR5R1C2

 R1R2111UiR42

s()s

R3C1C2R1R2R3C1C2

这时电路功能仍为带通滤波器

1R5R3C1

fKp0.7121，0

2πR4R1(C1C2)

R1R2

129.8Hz

R1R2R3C1C2

2

R1R2

0.522

R3(R1R2)

电阻R0接入时，最后可得到其传递函数

R5

s

UoR1R4C2

 R5R1R2111Ui2

s[()]s

R3C1C2R1R4C2R1R2R3C1C2

在选定参数情况下仍为带通滤波器，电路参数f0不变，Kp2.474，0.15。

4-9 设计一个品质因数不低于10的多级带通滤波器，如要求每一级电路的品质因数不超过

4，需要多少级级联才能满足设计要求？ 由式(4-61)

Q2n

Q2

)Q2n

Q

1

21(,n

lg2

4.67

lg[1(Q/Q2n)2]

取n=5,即可满足设计要求。级联后实际的品质因数为Q=10.37。

4-10 按图4-11a与图4-14 a设计两个二阶巴特沃斯低通滤波器，fc1kHz，Kp1，

其中无限增益多路反馈型电路按书中表4-2与表4-3设计，压控电压源电路则要求C1参考表4-2选择，并要求C20.33C1。

由表4-2确定图4-14 a电路电容C10.01F，相应的换标系数

K100/(C1fc)10，查表4-3得到r13.111k，r24.072k，r33.111k，C20.2C1。然后可以得到电路实际参数，R131.11k，R240.72k，R331.11k，C10.01F，C20.002F。最后选择元件公称值R130k，R239k，R330k，C10.01F，C20.002F。 图4-11 a电路中电容选择可参考表4-2，取值为C10.01F，C20.0033F，令

R2/R1x，对式(4-30)与(4-31)整理得到



R2C2R1C21

0.33(x)2 R1C1R2C1x

.解之得到x10.2633，x23797，由式(4-30)可得R11/(20.33xC1fc)。如取.，则R153.99k，R2xR114.22k；如取x23797，则x02633.

R114.22k，R2xR153.99k。最后选择元件公称值R156k，R215k或R115k，R256k。

4-11 一个二阶带通滤波器电路如图4-11 c所示，其中R156k，R22.7k，

R34.7k，R020k，R3.3k，C11F，C20.1F。求电路品质因数Q与通带中心频率f0。当外界条件使电容C2增大或减小1%时，Q与f0变为多少？当电阻R2增大或减小1%，或当电阻R2减小5%时Q与f0变为多少？

由式(4-36)与(4-37)可得到：

f0

R0R1R21111

113.6r/s 144.6Hz 0

QR1C1R3C1R3C2RR2C12πR1R2R3C1C2

Q8.000

当电容C2增大1%时，仍按上面两式计算得到f0143.9Hz，Q=9.772。当电容C2减小1%时，f0145.4Hz，Q=6.762。当电阻R2增大1%时，f0144.0Hz，Q=6.659。当电阻

R2减小1%时f0145.3Hz，Q=10.04。当电阻R2减小5%时，Q值变负，电路自激振荡。

4-12 在图4-16中，当R03开路，并且R01R3R02R2时，u0为高通输出，u1输出性质如何？

因为u0为高通输出，u0经过一个积分环节输出，相当于乘以一个积分运算符

1/(R5C2s)，所以u1为带通输出。从传递函数也可以证明这一点，令第一级运放输出为u2：

u2(s)

R2R2

ui(s)u1(s)

R01(1sR2C1)R1(1sR2C1)

uo(s)

解之得到

R4R1

uo(s) u2(s)4ui(s)，u1(s)

R5C2sR3R02

R4R411

s()

RRCRCCRRRRu1(s)512022013

0252

R41ui(s)

s2s

R2C1R1R3R5C1C2

因为R01R3R02R2，所以u1为带通输出。

4-13 一个数字滤波器，其输出的数字量是输入量的算术平均值，这是一种什么类型的数字

滤波器？其幅频与相频特性如何？ 由功能描述可确定其差分方程

1n1

y(n)x(ni)

ni0

输出量y(n)仅与当前输入量x(n)和过去输入量x(ni)有关，而与过去输出量y(ni)无关，属于有限冲击响应滤波器。仿照第五节例子，确定其z域传递函数

1n1i1zn

Y(z)(z)X(z)，H(z)

ni0n(1z1)

1ejnT1ejTejnTej(n1)T

= H(j)

n(1ejT)n(1ejT)1111

sinnTcos(n1)TjsinnTsin(n1)T 

1nsinT

2

其幅频与相频特性分别为

1sinnT

1，()(n1)T A()H(j)

12nsinT

2

这是一个具有线性相移的低通滤波器。