祖暅原理及其分析
摘要:
刘徽在发现《九章算术》球体积公式错误的基础上, 构造了" 牟合方盖", 正确指出了解决该问题的思路。祖氏父子间接求出了" 牟合方盖" 的体积, 从而彻底解决了球体积计算公式的难题, 并提出了祖暅原理。本文回顾了中国古代数学取得的巨大成就, 激发大家的民族自豪感和学习数学史的热情, 然后用高等数学的知识证明了祖暅原理, 强调高等数学对中学数学教学的指导作用, 增强大家学习高等数学的自觉性。
一、刘徽对球体积公式的探索
刘徽一生不仅成就卓越, 而且品格高尚。在学术研究中, 他既不迷信古人, 也不自命不凡, 而是坚持实事求是, 以理服人。如少广章的“开立圆术”给出的球体积计算方法相当于公式V=9/16D³(这里的D 为球的直径), 刘徽对这一公式的正确性产生怀疑, 他娴熟的使用界面法进行验证, 发现内切圆的体积与正方形的体积之比为π/4,在《九章算术》取π=3的情况下, 只有在内切球与圆柱的体积之比也是π/4时, 上述近似公式才成立, 而实际上后者是不成立的, 为了说明这一点, 刘徽又引入了一种新的立体:以正方体相邻的两个侧面为底分别做两次内切圆柱切割, 剔除外部, 剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为π/4,而明显可以看出,“牟合方盖”的体积比圆柱要小, 故上述公式是错误的, 显然, 如果能求牟合方盖的体积, 球的体积就自然可以求出了。但对于牟合方盖的体积如何求出, 刘徽百思不得其解, 故最后不得不“付之缺疑, 以俟能言者”。刘徽没有成功, 但他的思路正确, 为后人解决这一问题打下基础。
二、祖暅原理
祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的关于如何计算“牟合方盖”的问题, 并且开始沿着刘徽的道路继续探索, 经父子俩不懈的努力, 终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算, 得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比是2/3,祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过得不可分割原理, 总结提炼成一般的命题:“幂势相同, 则积不容异”,即夹在两个平行平面间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截, 若所的截面总相等, 则此二几何体体积相等。它们被称为“祖暅原理” 。祖氏父子所用的方法论证严谨, 推倒完善, 无懈可击, 同时, 这实际上就是西方数学界所谓的“卡瓦列里原理”。
三、卡瓦列里原理
在数学上，卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名。这个方法的基本思想是：线是有无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理（又称卡瓦列利原理）。
四、祖暅球体积公式证明
如图, 他把正方体(1)等分为8个小正方体, 去除其中一个, 以左下棱为轴、棱长(D/2)为半径做四分之一圆柱面:再以后下棱为轴作1/4圆柱面, 二次分割得到四个曲面立体:其中一块称为内棋(图(2),即牟合方盖的1/8),还有三块称为外棋(图(3)(4)(5)),并将这四块几何体用水平面(立标记为z) 去截分别得到截面:一个大正方形F1(边长记为y), 小正方形F2和两个长方形F3,F4, 由勾股定理得F1=y²=(D/2)²-z²,于是F1+F2+F3=z².再考虑到以D/2为底面边长和高的倒立正四棱锥(图(5))在立标为z 处的截面面积也是z²,由“祖暅原理”有图(2)+图
(3)+图(4)=1/3(D/2)³,由图所示有V4=8图(2)=2/3D³,令r=D/2,则得V=4/3πr
五、分析
通过中国古代的祖暅原理和西方数学的卡瓦列利原理我们可以认识到，祖暅原理比卡瓦列利原理更追求实用：与古希腊数学追求纯粹的理念想成强烈的对比，中国传统数学具有浓厚的应用色彩。更注重算法：中国传统数学实用性的特点，决定了它以解决实际问题和提高计算技术为主要目标，因此，他的成果都表此案为算法的相识。中国传统数学寓理于算：中国传统数学注重算法，并不等于它就没有逻辑推理，没有建立其自身的理论体系。