编号： 人教版初二年级数学学科下册-平行四边形- 编制：xxx 执教者： 导 向 性 信 息 导 学 案 设 计
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 【重点、难点】 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 【导学流程】
一、自主学习，了解感知。
例1是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2
是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证． 二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
你能总结出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那
么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）
； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）
2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）
（2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC，
∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又 AC＝CA，
∴ △ABC≌△CDA （ASA）．
∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴ ∠BAD＝∠BCD． 由此得到：
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1（见教材例1） 例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边
形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论． 四、反思感悟，总结提升。
1．填空：
（1）在ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．
2．如图4.3－9
，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
五、作业巩固，广泛运用。
1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）． （A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是360
2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）．
（A）4个 （B）5个 （C）8个 （D）9个
3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
安全教育：
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1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 【重点、难点】
重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 【导学流程】
一、自主学习，了解感知。
本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．
例2是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．
二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。 1．复习提问：
（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：
（2）平行四边形的性质： ①具有一般四边形的性质（内角和是360）．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边相等． 2．【探究】：
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点
O
处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质
三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1（补充） 已知：如图4－21，
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 证明：在
ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ △AOE≌△COF（ASA）．
∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）． ∵
ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）． ∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
解略
例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算 四、反思感悟，总结提升。
结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC，求各边的长
③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长
2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC
的
3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7
cm的两条线段，则ABCD的周长是__ ___cm．
五、作业巩固，广泛运用。
1．判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
安全教育：
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1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 【重点、难点】
重点：平行四边形的判定方法及应用．
难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 【导学流程】
一、自主学习，了解感知。
本节课安排了3个例题，例1是是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的
平行四边形，并说明理由．
二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。 1．欣赏图片、提出问题．
展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？ 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ （2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ （3）你能说出你的做法及其道理吗？
（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
（5）你还能找出其他方法吗？ 三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E
、F是AC上的两点，
并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明． （证明过程参看教材）
问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．
例2（补充） 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．
求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC， ∴ 四边形ABCB′是平行四边形．
∴ ∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)． 同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．
∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)． ∴ B′C＝A′C．
同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B． ∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．
例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO，
BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．
四、反思感悟，总结提升。
平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、
AB
上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
3．灵活运用课本例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边
三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为___ __． （6个）
②第8个图形中平行四边形的个数为___ __． （20个）
五、作业巩固，广泛运用。
1．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）． （A）对角线互相垂直 （B）对角线相等 （C）对角线互相垂直且相等 （D）对角线互相平分 2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC， 求证：BE=CF
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1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．
【重点、难点】 重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 【导学流程】
一、自主学习，了解感知。
本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力． 二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。 1． 平行四边形的性质；
2． 平行四边形的判定方法；
3． 【探究】 取两根等长的木条AB、
CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充） 例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥CB，AD=CD．
∵ E、F分别是AD、BC的中点， ∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．
∴ DE=BF
．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF．
12
12
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判
定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目
虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．
例2
（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是
AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF
是平行四边形．
分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需
再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，且AB∥CD．
∴ ∠BAE=∠DCF．
∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．
∴ △ABE≌△CDF （AAS）．
∴ BE=DF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边
形）．
四、反思感悟，总结提升。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）．
（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD
2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找
出图中的平行四边形，并说明理由．
3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠
BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
五、作业巩固，广泛运用。
1．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( )
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( )
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( )
(5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( )
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( )
2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．
3．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO
＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有
________对．（共有9对）
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1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用
的归纳、类比、转化等思想方法．
【重点、难点】
重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
【导学流程】
一、自主学习，了解感知。
例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的
方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教
师们在教学中要把握好度．
建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩
固三角形中位线的性质，然后再讲例2．
例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边
形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经
常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清
楚，可以借助与多媒体或教具．
二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。
1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去
解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是
判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是
平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某
些问题．）
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个
全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC
边AB、AC的中点，求证：
DE∥BC且DE=BC．
12
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可
以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等
的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构
造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接
CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有
BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以
DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明
方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接
CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边
形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥
FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以
DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什
么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是
线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连
线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且
等于第三边的一半．）
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等
吗？（让学生口述理由）
例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、
G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，
可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边
之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两
个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三
角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
12121212
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
1
2
1同理EF∥AC，EF=AC． 2∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
四、反思感悟，总结提升。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并
分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，
理由是 ．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连
结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜
想．
五、作业巩固，广泛运用。
1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这
三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．
2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三
边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长
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2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
【重点、难点】
重点：矩形的性质．
难点：矩形的性质的灵活应用．
【导学流程】
一、自主学习，了解感知。
例1是教材的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质
外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通
过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计
算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，
这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，
利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通
过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方
法．
二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井
架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，
它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观
察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点
上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？
它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角
线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已
知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，
对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离
AE的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中
的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程
的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中
常用的方法．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：
x282(x4)2，解得x=6． 则 AD=6cm． 1212
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角
边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若
AE=BC． 求证：CE＝EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，
而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩
形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
四、反思感悟，总结提升。
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得
的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩
形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形
叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分
∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
五、作业巩固，广泛运用。
1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为
（ ）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、
∠B的度数．
3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：
EA⊥ED．
4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠
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编号： 人教版初二年级数学学科下册-平行四边形- 编制：xxx 执教者： 导 向 性 信 息 导 学 案 设 计
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进
一步培养学生的分析能力。
【重点、难点】
重点：矩形的判定．
难点：矩形的判定及性质的综合应用．
【导学流程】
二、自主学习，了解感知。
本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定
矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用
矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来
综合应用矩形定义及判定等知识的．
二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是
矩形像框吗？看看谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由
四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； （√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。(√)
指出：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
例2 （补充）已知
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对
角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定
理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=AC，BO=BD．
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴
ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC=824243（cm）．
例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD的四
个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：
四边形EFGH是矩形．
分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目
可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
反思感悟，总结提升。
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
1．（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
121212
（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形 2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
五、作业巩固，广泛运用。
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理
是： ；
⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直
角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
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1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
【重点、难点】
重点：菱形的性质1、2．
难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用． 【导学流程】
一、自主学习，了解感知。
本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识． 二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。 1
．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子． 三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE， ∴ △BCE≌△COB（SAS）． ∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC ∴ ∠AFD=∠CBE．
例2 （教材P108例2）略
四、反思感悟，总结提升。
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积． 3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE． 五、作业巩固，广泛运用。
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）
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1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 【重点、难点】
重点：菱形的两个判定方法．
难点：判定方法的证明方法及运用． 【导学流程】
三、自主学习，了解感知。
本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．
二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。 1．复习
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形； （2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件） 2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？ 3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形． 三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1 （教材P109的例3）略
例2
（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC． ∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴ △AOE≌△COF． ∴ EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形． 又 EF⊥AC，
∴
AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F． 求证：四边形CEHF为菱形．
略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．
四、反思感悟，总结提升。
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形． 1．填空：
（1）对角线互相平分的四边形是 ； （2）对角线互相垂直平分的四边形是________； （3）对角线相等且互相平分的四边形是________； （4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形．
2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
五、作业巩固，广泛运用。
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）． （A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分
2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
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1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
【重点、难点】
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 【导学流程】
四、自主学习，了解感知。
本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。 1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方．．．．．．．．．．．．．．．．．．形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形
（2）有一个角是直角的平行四边形 2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 三、达标检测，促进同化。（课结合教材和教辅练习或自我补充）
例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F． 求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）． 又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF．
例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△
ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP
．从而得出
结论．
证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1， ∴ PN∥QM，∠PNM=90°． ∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形． ∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3． ∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP． ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
四、反思感悟，总结提升。
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____． 2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ） F ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） B ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别 C 为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF． 求证：∠AFE＝∠AEF．
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形， 求∠EAD与∠ECD的度数．
五、作业巩固，广泛运用。
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
【多元评价】
自我评价 小组学科长评价 课代表评价 教师评价
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2．进一步熟悉平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法； 3．通过例题和练习，提高学生综合分析问题、解决问题的能力和应变能力； 4．使学生认识特殊与一般的关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
【重点、难点】
重点：平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。 难点：平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。 【导学流程】
五、自主学习，了解感知。
一、归纳整理，形成认知体系
1．
复习概念，理清关系
矩形
平行四边形 正方形
2．集合表示，突出关系
平行四边形
矩形 正方形 菱形
3．性质判定，列表归纳 二、问题探究，形成技能。（在自主学习的基础上，开展合作探究）。
1．填空：对角线 对角线的菱形是正方形。
2．填空：对角线 对角线的平行四边形是菱形；对角线 的平行四边形是正方形。 3．填空：对角线的四边形是平行四边形；
对角线 的四边形是矩形；对角线 的四边形是菱形；
对角线 的四边形是正方形。
4．选择：若平行四边形各内角平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A．一般平行四边形 B．矩形 C．菱形
D．正方形 5．填空：两直角边长分别为5和12的直角三角形，斜边上的中线长是 6．填空：已知正方形的对角线长为4，则它的周长为 7．填空：菱形的周长为12，两条对角线之和为8，则菱形的面积为
三、达标检测，促进同化。 1．一题多变，培养应变能力
〖例题1〗已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．
求证：OE=OF．（课本P136例2） （图1） 变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？（图2、图3） 变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H（如图4），你又能得到哪些 新的平行四边形？为什么？
（图2） （图3） （图4） 变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F（如图5），这时仍有OE=OF吗？ 你还能构造出几个新的平行四边形？
变式4．在图4中，若过A作AH⊥BC，垂足为H，连结HO并延长交AD于G，连结GC（如图6），则四边形AHCG是什么四边形？为什么？
变式5．在图6中，若GH⊥BD（如图7），GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？
变式6．在图7中，若将“□ABCD”改为“矩形ABCD”（如图8），GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH的长吗？（这一问题相当于将矩形ABC对折，使B、D重合，求折痕GH的长。）
略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。 设OG = x，则BG = GD=x225． 在
628x225
解得 x
Rt△ABG
2
x
中，则勾股定理得
2
25，
AB2 + AG2 = BG2 ，即
2
15
． ∴GH = 2 x = 7.5． 4
A
G
D
H C
（图5） （图6） （图7） （图8）
2．一题多解，培养发散思维
〖例题2〗已知：如图9，在正方形ABCD，E是BC边上一点， F是CD的中点，且AE = DC + CE． 求证：AF平分∠DAE．
证法一：（延长法）延长EF，交AD的延长线于G（如图10）。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠ADC=90
°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF
F E
CGDF
在△EFC和△GFD中
12 CFDF
∴△
EFC≌△GFD（ASA） ∴CE=DG，EF=GF （图10） ∵AE = DC + CE， ∴AE = AD + DG = AG， ∴AF平分∠DAE． 证法二：（延长法）延长BC，交AF的延长线于G（如图11） ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90° （正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角）
11） ∴∠3=∠G，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D （图
FCGD 在△FCG和△FDA中 12 ∴△△FCG和△FDA（ASA） CFDF
∴CG=DA ∵AE = DC + CE， ∴AE = CG + CE = GE， ∴∠4 =∠G， ∴∠3 =∠4， ∴AF平分∠DAE． 思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G，使AG=AD，
再连结GF、EF（如图12），这样能证明吗？ （图12）
四、反思感悟，总结提升。
1．一题多变，举一反三。
经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力。 2．一题多解，触类旁通。
在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。 3．善于总结，领悟方法。
数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。
1．在例2中，若将条件“AE = DC + CE”和结论“AF平分∠DAE”对换，
所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？
2．已知：如图13，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， G、H分别是BC、AD的中点．
求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法）
五、作业巩固，广泛运用。
1．如图14，在□ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，连结 BE、CE， 则∠BEC=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
2．若菱形的周长为24，相邻两角之比为5:1，则它的面积是（ ） （图14） A．9 B．18 C．93 D．183 3．如图15，四边形ABCD是正方形，四边形ACED是平行四边形， AC=6，则□ACED的面积是（ ）
A．182 B．92 C．18 D．9 （图15）
4．矩形各外角平分线围成一个四边形，关于这个四边形的形状，下列答案中最符合题意的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．已知矩形周长是14，面积是12，则它的对角线长是（ ） A．5 B．10 C．25 D．5
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