四边形的存在性
1.（2012湖北孝感）如图，抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标． （2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时点P的坐标．
（3）点Q是抛物线在第一象限上的一个动点，过点Q作QN∥AC交x轴于点N．当点Q的坐标为时，四边形QNAC是平行四边形；当点Q的坐标为 时，四边形QNAC是等腰梯形．
2.（2012黑龙江牡丹江）如图，OA，OB的长分别是关于x的方程x212x320的两根，且OAOB．请解答下列问题： （1）求直线AB的解析式．
（2）若P为AB上一点，且AP1
PB=3
，求过点
P的反比例函数的解析式．
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，P，O，Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.（2010贵州遵义）如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为Q(2，1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与点A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．（3）在（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（2012山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)，以A为顶点的抛物线yax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式． （2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？求出t的值．
【参考答案】
1. （1）抛物线的解析式为yx22x3，
顶点D的坐标是(1，4)．
（2）设四边形PMAC的面积为S，则
11
SOAOC(PMOC)OM
22
93
=m2m
22 9105
=(m)2
416 9∵1
9
∴当m时，四边形PMAC的最
4105
大面积为．
16
（3）t=
20
或t
=20－ 13
93
此时，点P的坐标是()．
421115
3)；Q()． （3）Q(2，
416
2. （1）直线AB的解析式为yx4．
（2）y
6
x0． x
5958， 3737
或
12
（3）存在，符合条件的点Q的坐标为
（－2，1），
2754， ． 55
3. （1）抛物线的函数关系式为
yx24x3．
（2）点P的坐标为(1，0)或(2，1)． （3）存在，符合条件的点F的坐标为(22，1)或
(22，1)．
4. （1）A（1，4），抛物线的解析式为
y=-x2+2x+3．
1
（2）S△ACG=(t－2)2+1，
4
当t=2时，S△ACG的最大值为1．