2015年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑，每小题3分，共24分）
1． （2015•赤峰）﹣2的相反数是（ ）
A． 2 B．
C．
D． |﹣2| 考点： 相反数．
分析： 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解答： 解：﹣2的相反数是2，
故选A
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2． （2015•赤峰）为了加速内蒙古经济建设，国家计划投资204.4亿元修建赤峰市至喀左的“高铁”，204.4亿用科学记数法表示正确的是（ ）
1198 A． 0.2044×10 B． 20.44×10 C． 2.044×10
10 D． 2.044×10
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
10解答： 解：204.4亿=[1**********]=2.044×10，
故选D．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3． （2015•赤峰）下面四个“艺术字”中，轴对称图形的个数是（ ）
nn
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的定义即可得出结论．
解答： 解：由轴对称图形的性质可知，四个字中的轴对称图形有：美、赤． 故选B．
点评： 本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解答此题的关键．
4． （2015•赤峰）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A． 10° B． 20° C． 30° D． 50°
考点： 平行线的性质．
分析： 先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
解答： 解：∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，
∴∠AKG=∠XKG=50°．
∵∠CKG是△KMG的外角，
∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°．
∵∠KMG与∠FMD是对顶角，
∴∠FMD=∠KMG=20°．
故选B．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5． （2015•赤峰）解不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
C．
D．
B．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
分析： 分别求得不等式组中的两个不等式的解集，然后取其交集，并表示在数轴上．
解答： 解：
解不等式（1），得
x≤﹣1．
解不等式（2），得
x＞﹣3，
则原不等式组的解集为：﹣3＜x≤﹣1． 表示在数轴上为：．
故选：C．
点评： 本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6． （2015•赤峰）为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：
周阅读用时数（小时） 4 5 8 12
学生人数（人） 3 4 2 1
则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是（ ）
A． 中位数是6.5 B． 众数是12 C． 平均数是3.9
D． 方差是6
考点： 方差；加权平均数；中位数；众数．
分析： A：根据中位数的求法，把这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，则中间两个数的平均数即是这10名学生周阅读所用时间的中位数．
B：根据众数的求法，这10名学生周阅读所用时间中出现次数最多的，即为这10名学生周阅读所用时间的众数．
C：根据算术平均数的求法，求出这10名学生周阅读所用时间的平均数是多少即可． D：根据方差的计算方法，求出这10名学生周阅读所用时间的方差是多少即可． 解答： 解：这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得
4、4、4、5、5、5、5、8、8、12，
∴这10名学生周阅读所用时间的中位数是：
（5+5）÷2=10÷2=5，
∴选项A不正确；
∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时，
∴这10名学生周阅读所用时间的众数是5，
∴选项B不正确；
∵（4×3+5×4+8×2+12）÷10
=60÷10
=6
∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是6，
∴选项C不正确；
∵
2[（4﹣6）+（4﹣6）+（4﹣6）+（5﹣6）+（5﹣6）+（5﹣6）+（5﹣6）+（8222222222﹣6）+（8﹣6）+（12﹣6）] =
=[4+4+4+1+1+1+1+4+4+36] 60
=6
∴这10名学生周阅读所用时间的方差是6，
∴选项D正确．
故选：D．
点评： （1）此题主要考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）此题还考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
（3）此题还考查了中位数、众数的含义和求法，要熟练掌握．
7． （2015•赤峰）如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．
B． C．
D．
考点： 简单组合体的三视图．
专题： 计算题．
分析： 从几何体上方观察，得到俯视图即可．
解答： 解：如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是
故选D ．
点评： 此题考查了简单组合体的三视图，俯视图即为从上方观察几何体得到的试图．
8． （2015•赤峰）抛物线y=ax+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数
y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
2
A．
B． C．
D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析： 根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．
解答： 解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数
y=的图象在第二、四象限，
故选：B．
点评： 本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共24分）
9． （2015•赤峰）因式分解：3a﹣6a= 3a（a﹣2） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
分析： 直接提取公因式3a，进而分解因式即可．
2解答： 解：3a﹣6a=3a（a﹣2）．
故答案为：3a（a﹣2）．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
2
10． （2015•赤峰）若关于x的一元二次方程x﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab= 4 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系得到
22，通过解该方程组可以求得a、b的值． 解答： 解：∵关于x的一元二次方程x﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b， ∴由韦达定理，得
解得，． ， ∴ab=1×4=4．
故答案是：4．
2点评： 本题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
11． （2015•赤峰）在分别写有﹣1，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为
．
考点： 概率公式．
分析： 让所抽取的数字平方后等于1的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出． 解答： 解：因为﹣1，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1有2张，
所以所抽取的数字平方后等于1的概率为
故答案为：
点评： 本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12． （2015•赤峰）如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是
，
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；正方形的性质．
分析： 由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，然后根据正方形的性质可知：AD=AB=BC，从而可知：AG=AB=BC．
解答： 解：由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC．
∴AG=AB=BC．
∴△ABG是等边三角形．
故答案为：等边．
点评： 本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的判定和正方形的性质，由折叠的性质证得：AG=AD，BG=BC是解题的关键．
13． （2015•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，OB=3，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC=20°，则的长等于
π ．
考点： 弧长的计算；圆周角定理．
分析： 根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，然后根据角平分线的定义求出∠ABD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出∠AOD，然后根据弧长公式列式计算即可得解．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°﹣20°=70°，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠ABD=∠ABC=×70°=35°，
∴∠AOD=2∠ABD=2×35°=70°， ∴的长==π． 故答案为：π．
点评： 本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，比较简单，熟记定理与公式并求出∠AOD的度数是解题的关键．
14． （2015•赤峰）如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为 4 ．
考点： 扇形面积的计算；平行四边形的性质．
分析： 先根据∠AOB=∠COD可知S阴影=S△AOB，再由平行四边形的性质得出OA=AC，由三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：∵∠AOB=∠COD，
∴S阴影=S△AOB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=×4=2．
∵AB⊥AC，
∴S阴影=S△AOB=OA•AB=×2×4=4．
故答案为：4．
点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键．
15． （2015•赤峰）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件： BD∥FC 使得四边形BDFC为平行四边形．
考点： 平行四边形的判定．
分析： 利用两组对边互相平行的四边形是平行四边形，进而得出答案．
解答： 解：∵AD∥BC，当BD∥FC时，
∴四边形BDFC为平行四边形．
故答案为：BD∥FC．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
16． （2015•赤峰）“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是 （2n﹣1）（n+1） ．
考点： 规律型：图形的变化类．
分析： 第一个图形是由2个图形组成，第二个图形是由9个图形组成，第三个是由20个图形组成，找到规律则第n个的表达式能写出来．
解答： 解：第一个图案是由2个
即为：2=1×2；
第二个图案是由9个
即为：9=3×3；
第3个图案是由5×4=20个
即为：20=5×4；
第4个图案是由35个
即为：35=7×5；
以此类推：第n个图案的个数：（2n﹣1）（n+1）． 组成： 组成： 组成： 组成：
故答案为：（2n﹣1）（n+1）．
点评： 本题考查图形的变化规律，观察得出“每一行和每一列的个数的关系”是解题的关键．
三、解答题（在答题卡上解答，在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）
17．（6分）（2015•赤峰）计算：|﹣|﹣（﹣π）﹣sin30°+（﹣）． 0﹣2
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： 先分别根据绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数的值，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答： 解：原式=﹣1﹣+4
=3．
点评： 本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．（6分）（2015•赤峰）解二元一次方程组：
考点： 解二元一次方程组．
专题： 计算题．
分析： 方程组利用加减消元法求出解即可．
解答： 解：， ．
①×2+②得：7x=14，即x=2，
把x=2代入①得：y=﹣3， 则方程组的解为．
点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（10分）（2015•赤峰）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，
4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称．
（1）画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对称点P′（a+3，b+1），请画出平移后的△A2B2C2．
考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．
分析： （1）首先作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可求得；
（2）把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度即可得到对应点，然后顺次连接即可．
解答： 解：（1）如图所示：
A1的坐标是（3，﹣4）；
（2）△A2B2C2是所求的三角形．
点评： 本题考查了图形的对称和图形的平移，理解P（a，b）的对称点P′（a+3，b+1），即把已知的点向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得到对应点是关键．
20．（10分）（2015•赤峰）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4 ）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．
解答： 解：根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，
在Rt△ADE中，AE===18
∴BE=AE﹣AB=18﹣18，
在Rt△BCE中，CE=BE•tan60°=（18﹣18）=54﹣18，
∴CD=CE﹣DE=54﹣18﹣18≈5米．
点评： 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．
21．（10分）（2015•赤峰）中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型：A接听电话；B收发短信；C查阅资料；D游戏聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生；
（2）将图1、图2补充完整；
（3）现有4名学生，其中A类两名，B类两名，从中任选2名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）．
考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
专题： 计算题；数形结合．
分析： （1）用A类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数；
（2）分别计算出B、D两类人数和C、D两类所占百分比，然后补全统计图；
（3）先画树状图展示所有有12种等可能的结果数，再找出两名学生为同一类型的结果数，然后根据概率公式求解．
解答： 解：（1）100÷50%=200，
所以调查的总人数为200名；
故答案为200；
（2）B类人数=200×25%=50（名）；D类人数=200﹣100﹣50﹣40=10（名）；
C类所占百分比=
如图：
×100%=20%，D类所占百分比=×100%=5%，
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两名学生为同一类型的结果数为4，
所以这两名学生为同一类型的概率==．
点评： 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．
22．（10分）（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是的切线．
（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．
考点： 切线的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： （1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；
（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． 解答： （1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，
根据勾股定理得：PD==10，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，
222根据勾股定理得：（8﹣r）=r+4，
解得：r=3，
则圆的半径为3．
点评： 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
23．（12分）（2015•赤峰）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．
考点： 相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．
分析： 由直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式．
解答： 解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，
∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，
∴=，即=，解得CP=2，
∴P（2，﹣1），
设过点P的双曲线解析式
y=，把P点代入得﹣1=，解得k=﹣2，
∴过点P的双曲线解析式
y=，
②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似，
在△OCP和△COB中，
∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，﹣4）
设过点P的双曲线解析式
y=，把P点代入得﹣4=，解得k=﹣8，
∴过点P的双曲线解析式
y=，
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数求反比例函数，解题的关键是分两种情况正确画出图形．
24．（12分）（2015•赤峰）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求李老师步行的平均速度；
（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．
考点： 分式方程的应用．
分析： （1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，骑电瓶车走1900米所用的时间比步行少20分钟，据此列方程求解；
（2）计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可． 解答： 解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟， 由题意得，﹣=20，
解得：x=76，
经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意，
则5x=76×5=380，
答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；
（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为：
骑车走到学校的时间为：=5， =12.5（分钟）， 则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23，
答：李老师能按时上班．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．（12分）（2015•赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值．
解答： 解：（1）DF=DE．理由如下：
如答图1，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（2）DF=DE．理由如下：
如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF与△BDE中，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．
依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=
22， ， （x+1）+．即y=（x+1）+． ＞0， ∵
∴该抛物线的开口方向向上，
∴当x=0即点E、B重合时，y最小值
=．
点评： 本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键．
26．（14分）（2015•赤峰）已知二次函数y=ax+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题．
2分析： （1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax+bx﹣3a求得a、b的值即可
确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
2解答： 解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据题意，得， 解得，
2∴抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3．
（2）由y=﹣x+2x+3得，D点坐标为（1，4），
∴CD=
BC=BD=∵CD+BC=（）+（3
222∴CD+BC=BD， 2222==3， =22， ， 2）=20，BD=（2）=20， 2
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．CD+BC=（）+（3）=20，BD=（2
2y=﹣x+2x+3对称轴为直线x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x+（3﹣y）=（x﹣1）+（4﹣y），
即y=4﹣x．
又P点（x，y）在抛物线上，
2∴4﹣x=﹣x+2x+3，
2即x﹣3x+1=0，
解得x1=
∴x=
∴y=4﹣x=
即点P坐标为（， ， ，）． ，x2=＜1，应舍去， 222222222）= 2
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称， 此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
点评： 此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．